CHAPITRE XXIX
AF, on a (n° 55o)
ATTRACTION. POTENTIEL
en outre les deux triangles OAP et OAP' donnent
/2 = R2 f r2 +2Rr cos6, l'2 = R2 i r'2 f 2Rr'cosB';
comme on a
1 = Ty
la deuxième relation devient
R2= /2 l r2+ 2/-/cos0';
donc, en retranchant,
12 R2 = r(R cos 6 — l cos 6' )
et enfin
R2 — V __ R cos6' cosè
La formule trouvée peut donc s'écrire
Le problème de Dirichlet est ainsi résolu pour une sphère.
600. Application. — Si une fonction harmonique uniforme U {pc,y, z) est finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes en tous les points de l'espace, et si sa valeur absolue reste en tous les points de l'espace inférieure à une limite fixe L, cette fonction se réduit à une constante^).
De l'origine comme centre, avec un rayon R, décrivons une sphère : puis appliquons la formule (r4) d'abord en supposant le point (a, b, c) dans une position quelconque dans la sphère; puis en supposant ce point à l'origine, ce qui donne pour la valeur U0 de U à l'origine
V°=tkffJd°>
( ' j Voyez Traité d'Analyse de M. Picard, t. I, p. i5i.
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SC1ENTIAE
yA
lOO ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
car P étant en O, r = R, l — o. On a donc, en retranchant,
U.-UC, b, c) = j^/jf (g - ~3 ") " *■
Or l'élément superficiel «fo de la sphère de rayon R est égal à R2 d<x>, do> désignant l'ouverture du cône de sommet O et de base ds et l'on a
U0 - U(a, *, c) = -faffU " — "^^1 U dw.
L'intégrale du deuxième membre a, d'après cela, une valeur fixe indépendante de R. Nous allons montrer que cette valeur est nulle.
En effet, faisons croître R indéfiniment, le rapport — tend vers i pour tous les points de la sphère, car le point P reste fixe; donc le facteur
tend vers zéro; d'ailleurs U reste, en valeur absolue, moindre qu'un nombre fixe L. L'intégrale tend donc vers zéro, et comme elle est constante elle est rigoureusement nulle. On a ainsi
U(ar, f,z) = U0;
la fonction U, en un point quelconque, a la même valeur qu'à l'origine: elle est constante.
601. Propriétés caractéristiques du potentiel d'un système de masses continues. — Soient des masses continues occupant un volume formé d'un ou de plusieurs morceaux distincts limités par des surfaces fermées. Le potentiel de ces masses est une fonction U qui remplit les conditions suivantes :
i° La fonction U est finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans tout l'espace;
2° Elle s'annule à l'infini;
3° Elle vérifie l'équation de Laplace AU = o en dehors des masses attirantes et l'équation de Poisson AU = — /\izo dans les masses attirantes.
Ces propriétés caractérisent le potentiel. — Si par un procédé quelconque on a trouvé une fonction Uj (#, y, s) possédant les trois propriétés indiquées, on peut affirmer qu'elle est identique au potentiel U.
