CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. lOI
En effet, la différence Uf — U est finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans tout l'espace, et elle vérifie partout l'équation de Laplace, car, dans les masses attirantes, on a AU, = — 4rcp, AU = — 4tc?i donc A(U< — U) = o.
D'après le théorème du n°591, la fonction U\ — U est constante, et, comme elle est nulle à l'infini, elle est nulle partout. Donc
602. Application au calcul du potentiel d'un ellipsoïde homogène. — Gomme application, nous exposerons la méthode donnée par Dirichlet dans le Tome 32 du Journal de C relie, pour obtenir <7 Je potentiel d un ellipsoïde homogène de densité o.
Soit l'ellipsoïde homogène dont la surface a pour équation
— r H- TT -\ — I = O.
i° Désignons par ûc, y, z les coordonnées d'un point donné P de l'espace extérieur à l'ellipsoïde, c'est-à-dire tel que
të + 6i" + ^"~I>0-
Dans ces conditions, l'équation suivante en u
.-r2 r2 -s2 < 16 ) — h tï h i = o,
admet une et une seule racine positive; en effet, si dans le premier membre de cette équation on fait croître u de o à oo, ce premier membre part d'une valeur positive et décroît constamment pour arriver finalement à la valeur — i : il s'annule donc une et une seule fois. Nous désignerons par u la racine positive unique de l'équation (16). Cette racine est une fonction de x, y, z qui s'annule quand le point P vient sur la surface de l'ellipsoïde et devient infinie quand le point P s'éloigne indéfiniment dans une direction quelconque.
Cela posé, le potentiel U au point extérieur P est donné par
(i ) U =tz abc p I î — r ^ . -1-
v„ v <*2+* *2+* ^2-Vv/?T>ô
où l'on pose pour abréger
cp(X) = (a8-hX)(ô*-+--X)(c*-hX).
2° Supposons maintenant le point P intérieur à l'ellipsoïde; le potentiel U au point P est donné par
JÇ x / x2
1 c2-hlj /cp(X)
3° Si le point P est sur l'ellipsoïde, les deux formules se raccordent, car u = o.
Démonstration. — Nous allons montrer que la fonction U ainsi définie possède les propriétés caractéristiques du potentiel.
Différentions U par rapport à oc, nous aurons :
i° Si le point est extérieur (formule l'y)
OU ôx
abcpx !
— 7i abc p | i
a--}- il b-^u c2-i- u) J^i M)
du dx
où le second terme provient de ce que la limite inférieure u est fonction de x. Mais ce second terme est nul puisque u vérifie, par hypothèse, l'équation (16). On a donc
au
ôx
— iizabc
u (a*+X)^«p(X) •a" Si le point est intérieur (formule 1 8) on a de même (■20) -r— = — iTzabcpx !
(a2+X)v/cp(X)
On calculerait de même — et — • On voit, d'après ces formules,
ôy oz L
que la fonction U et ses dérivées sont continues dans tout l'espace.
Calculons, de même, les dérivées deuxièmes :
i ° Si le point est extérieur, on a, en différentiant la formule ( i g) el se rappelant que u est fonction de x,
— — = 'm abc p ôx'1 r
dk
fn (a2-+-X)v/cp(X)
i oui (u~j ôx\
