CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. Io

Calculant de même -r-r- et — — - et aioutant, on a

dy2 dz2 J

AU = 2tz abc p I —

i-rv-

H-X 6*-t-X ' cs+À

vAp(X)

a? dit y du i -s du \

u dz /

v/cp(w) W2+^ cte b2-\~u dy c2-h On a, pour l'intégrale indéfinie,

donc l'intégrale définie de u à oo est -7= et l'on a

,TT , / se du y du z du \ i

AU — iTzabcQ - h — r h ■ '2 , •

1 \«2-i- w da? 62-+- m cy c24- m As / Jm(u)

Cette quantité est -nulle; en effet, dérivons successivement l'équation (16) par rapport à x, y, z, nous aurons

ix x2 y2 z2 "1 du

L(a*H- w)2 + (62 -t- w)2 ~~ <,c2-hw)2J

a2+f« L(a*-f-w)2 (b2-\-u)2 {C2-+-u)2]dx

i y x2 y2 z1 "] du

W^~u~ ~" [ (a2^- m)* ~~ (62~"wJ2 + (^jT^)«J ^

c2-!- w ~ L(a2-h u)2 + ( 6 2 h- ôTj* ~~ (c*h- u)2] Jz

Ajoutons ces équations après avoir multiplié la première par

— , la deuxième par -~- — > la troisième par-— - -, nouspour-

t • i ' i x2 y2 z2 rons diviser le résultat par — + -^ + — et

r (cû-^u)2 (o2+a)2 (c2-i-u)2

nous verrons que

AU = o.

2° Si le point est intérieur, on a, en différentiant la formule (20),

calculant de même -r — - > -— - et aioutant, on a

dy2 dz2 J

iTT 1, r* ( i i 1 \ di

AU =- — 2 7T abc p ! — -y -f- — .- -1 - r- )

L'intégrale indéfinie est — — el l'intégrale définie —7- :

^ s/?(X) b abc

donc, à l'intérieur

Enfin la fonction \j , donnée par (17), s'annule à l'infini, car u est infini à l'infini.

La fonction U définie par les formules (17) et (18) est donc le potentiel de l'ellipsoïde.

603. Ellipsoïde de révolution aplati. — Supposons, en particulier,, que l'ellipsoïde soit engendré par la révolution d'une ellipse d'axes a et 6, a >• b autour du petit axe. Alors, en prenant l'axe de révolution pour axe O.S, il faut dans les formules précédentes remplacer b par a et c par /;. Donc :

Point extérieur,

U = iza2bp I t — -r -j r —

VJU V «2 + * ^+Vp) où

cp(X) = (a*4-X)*(6«H-X),

w étant la racine positive de

a?2H-jK2 ^2

tf2-h w ^~ è2-i- k

Point intérieur ou sur la surface,

aJ r* I x^ — y*- -s2 \ dX

1 J0 V «2+x ^-Vi/?()o

Calculons cette dernière intégrale. On a

d\ 2 f tz b 1 2 c

rœ û?X 2 Tir 61

/ ■ = - I arc tan g -

JQ (a*+l)\/b*-+-\ CU c J

arc la 112 t b

dX 1 b 1 c

arc tangr 7 ,

(a^ÀrVF+T c*c^b* c*

i = arc tang ,

^0 (a»-4-X.)(ô*-h-X)« C comme on le voit facilement en faisant