CHAPITRE XXVIII. — INTÉGRALES DE VOLUMES. l

Il est facile maintenant de faire disparaître les deux hypothèses restrictives que nous avons faites : quelle que soit la surface S, on peut la diviser par des courbes auxiliaires en parties telles que, sur chacune d'elles, y et P aient un signe constant.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il faille diviser la surface S

en quatre parties S^ S2, S3, S4 par les courbes ABD, GDE. La formule s'applique à chacune des parties ; on a

jL'*-/jC('£-'D* jL'*-/jC('£-'S)*

Lr-f m -<§)<■■

Ajoutant ces formules membre à membre et remarquant que, dans la somme des premiers membres, les intégrales telles que

/ P dx et / P dx prises en sens contraires sur la mênie courbe «Ab «^ba

ont une somme nulle, on obtient la formule à démontrer.

En faisant une permutation circulaire on démontre de même les deux formules

Ajoutons ces formules à la formule (9), nous aurons la formule

de Stokes dans sa généralité fiVdx + Qdy + VLdz)

J Jg [ \o/ dz J r \âz dx J ' \ dx dy ) J

541. Interprétation géométrique de la formule de Stokes. — Nous avons appelé K le vecteur appliqué au point M(x,y, z) et ayant pour projections les valeurs des fonctions P, Q, R en ce point. Considérons, dans le champ de vecteurs, un contour fermé L et menons, en chaque point A de ce contour, Ja tangente A t dans le sens de circulation choisi sur ce contour (Jig. 279); soient dx, dy, dz les projections d'un déplacement infiniment petit AA'= ds effectué sur le contour dans le sens de circulation choisi, la quantité P dx -4- Q dy + R dz est égale à J±tds, Kf désignant la projection du vecteur K sur la tangente A^. Cela résulte immédiatement de ce que nous avons vu autrefois pour l'expression du travail élémentaire (n° 83). On a donc

fp dx h- Q dy -h R dz = fKtds,

et la valeur commune de ces intégrales est le travail total qu'accomplirait une force fictive égale à K agissant sur un mobile qui parcourrait le contour L dans le sens choisi.

D'autre part, faisons correspondre, à chaque point M du champ, un deuxième vecteur MW ayant pour projection sur les trois axes

dy dz y dz dx ' dx dy

Ce nouveau vecteur s'appelle le tourbillon du premier K. L'intégrale double figurant dans le deuxième membre de la formule de Stokes est alors

J 7"(aW*=F pWr4- yWz) d* = ffwHd<s, W/i désignant la projection de W sur la normale à de. Cette inté-