V. - MASSES ATTIRANTES ILLIMITEES. POTENTIEL LOGARITHMIQUE
Dans tout ce qui précède, nous avons supposé les masses atti rantes limitées. Si nous les supposons illimitées, le mot attraction peut ne plus avoir de sens. Nous allons passer d'abord en revue quelques cas particuliers où l'attraction a encore un sens.
604. Attraction d'une droite homogène indéfinie sur un point P.—
Considérons une droite matérielle homogène AB (ftg. 3oi); soit h la masse de l'unité de longueur, soit P un point attiré par les difFé-
Fig. 3oi.
rents éléments de cette droite. Nous allons démontrer que l'attraction de la droite sur le point P tend vers une limite lorsque A et B
s'éloignent indéfiniment et que cette limite est indépendante de la façon dont les points A et B s'éloignent à l'infini.
De P abaissons une perpendiculaire PO sur la droite AB.
Soient PO = 8; s la longueur Om comptée à partir de O pris pour origine; ds un élément de la droite placé en m; pi la masse de P; r — Pm; ds a pour masse h ds. L'attraction de ds sur P
a pour expression
f\x. h ds
Soit 0 = OPm. Nous avons
s = o tango, r
, 8 ir. ds (f/0
lin difterentiant,
ds =
cos26 ' r* o
l'attraction élémentaire a donc pour expression
fixhdti
Les projections de cette attraction sur Ox et Oy sont
&i— sin 6 rf6, — ^— cos0 46.
Soient B0 et 9| les angles correspondant aux points A et B. Nous aurons pour expressions des projections sur les deux axes de l'attraction de la droite limitée AB
= fv-h f ' si
ou
\£± f sini
X = — --£— (cosÔ! — cos6„V
Y =— Z^(sin01 sin0o).
On vérifie facilement que cette attraction est égale à celle qu'exer-
