CHAPITRE XXIX
ATTRACTION. POTENTIEL
cerait, sur le même point P, un arc de cercle homogène ayant pour centre P, pour rayon S, pour densité linéaire A, et limité aux deux droites PA et PB. Si A s'éloigne à l'infini à gauche, B à
l'infini à droite, B0 tend vers — -? 9, vers -f- •> et nous avons
if y. h
L'attraction devient perpendiculaire à la droite : elle varie en raison inverse de la distance du point à la droite.
605. Attraction d'un cylindre indéfini à base finie sur un point. — L'attraction d'un cylindre indéfini sur un point a un sens, si l'on suppose la densité p constante tout le long d'une parallèle aux génératrices du cylindre.
Soit P {fig. 3oa) le point attiré de masse i. Menons par ce point la section droite 2 du cylindre.
Soit d<? un élément de cette section droite placé en A : le cylindre droit élémentaire indéfini ayant pour base de peut être regardé
comme une droite homogène, dont la densité linéaire, masse de
l'unité de longueur, est h — p de. D'après ce que nous avons vu
plus haut, l'attraction cp de ce cylindre élémentaire sur P est diri-
T-k * > i ^ i fo da
gee suivant PA et egaJe a '
Pour connaître l'attraction du cylindre en tous les points de
l'espace, il suffit évidemment de calculer l'attraction sur un point P
qui occupe successivement toutes les positions possibles dans le
plan d'une section droite S. Prenons dans le plan de la section droite S deux axes rectangulaires Ox et Oy.
Soient x el y les coordonnées de P; a et b celles de A; et r la distance PA
r = \/(x — aj* + {y— Ijf .
Les projections de l'attraction élémentaire s sur les axes Ox et < ) y sont
l'attraction résultante F est donc dans le plan de la section droite et a pour projections
Dans ces intégrales, p est une fonction donnée de a et b, et l'intégration est étendue à l'aire de la section droite S. En posant
il — I / p loffr d<7,
a est une fonction de x et y, et l'on peut écrire
A = if — , Y = — 2/ -r-
L'attraction, dans le plan xQy, dérive donc du potentiel u. On vérifie, sans peine, que l'on a
à2 logr d2 log r
le potentiel u vérifie donc, en dehors des masses attirantes, l'équation
analogue à l'équation de Laplace.
Le potentiel u ainsi défini se nomme potentiel logarithmique.
L'étude des fonctions de x et y vérifiant l'équation (1) est intimement liée à l'étude des fonctions d'une variable complexe x-\-yi. Nous renverrons, pour cette question, au Traité d'Analyse de M. Picard (premier Volume).
