CHAPITRE XXIX
ATTRACTION. POTENTIEL
lO()
A l'intérieur de la masse attirante, le potentiel logarithmique vérifie l'équation
c)2 a d* u analogue à l'équation de Poisson.
606. Attraction d'un plan indéfini. Indétermination du problème. — L'expression attraction cl' un plan indéfini homogène sur un point n'a pas de sens précis. Soit, dans un plan donné, une aire homogène S de densité superficielle o. L'attraction H de S sur un point P de masse i peut être décomposée en deux forces : i° une force normale au plan H/; égale à/où, où Q est l'angle solide du cône de sommet P et de base S (n°o67); 2° une force parallèle au plan Ht. Supposons maintenant que Ion fasse grandir indéfiniment l'aire S dans tous les sens, de façon qu'elle recouvre progressivement tou,t le plan : dans ces conditions, la composante H^ tend vers la limite zizfp, car Q tend vers ait, mais la composante Ht tend vers une limite qui dépend de la façon dont l'aire S grandit indéfiniment.
Si l'aire S, en grandissant, reste constamment symétrique par rapport à la projection O du point P sur le plan, la composante Hr est nulle. Mais si cette symétrie n'existe pas, la composante Ht n'est pas nulle.
Exemple. — Supposons que Taire S soit une bande indéfinie du plan comprise entre deux parallèles A A' et BB' (fi g* 3o3). Pre-
Fiff. 3o3.
nons comme origine la projection O du point P sur le plan, comme axe Ox la perpendiculaire commune AB aux deux droites. Le point O est supposé entre les deux droites : soient OA = #, OB= b.
OP == p. Menons une parallèle GC à Qy ayant pour abscisse x et une parallèle infiniment voisine d'abscisse x -+- dx ; nous avons ainsi une bande infiniment mince qui peut être assimilée à une droite de densité linéaire h = p dx (masse de l'unité de longueur de la bande). L'attraction cp de cette bande élémentaire sur le
point P de masse i est dirigée suivant PC et égale à — p-p— (n° 604);
sa composante suivant la droite PT parallèle à Ox est
'ifç> dx x ifp x dx
y* = PC PC = a?2+/,2 *
La composante H^ de l'attraction de la bande totale suivant PT est la somme de ces composantes élémentaires
x dx a2-\-p2
C x dx a
bx*-+- p*- ~ o* -\- p*
les limites étant les abscisses des points B et A.
Elargissons maintenant la bande A A/BB' de façon à lui faire recouvrir tout le plan; pour cela, il suffit de faire croître indéfiniment a et b suivant une loi quelconque. Nous voyons que H^ tend vers une limite qui dépend de la façon dont a et b augmentent indéfiniment. Ainsi, en supposant constamment a =. b, on a
En supposant constamment a= 26, on a, pour b = cc,
limllf = ifçt Log2.
En supposant a = hb
\'\m\lt = -ifç> Log/v.
607. Indications historiques et bibliographiques. — Nous avons donné dans le cours de ce Chapitre quelques indications historiques et bibliographiques. On trouvera des indications très détaillées dans une excellente publication intitulée Potential Théorie, insérée dans VEncyclopœdie der mathematischen Wissenschaften, herausgegeben von Heinr. Burckhardt und Franz Meyer (Leipzig, Teubner, 1896). Nous avons, dans ce qui précède, emprunté plusieurs renseignements à cette publication.
