CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. III

Il convient d'ajouter à la liste des Ouvrages qui y sont cités, au point de vue historique :

La Thèse d'Olinde Rodrigues, De l'attraction des sphéroïdes, soutenue à Paris le 28 juin 181 5, qui contient l'expression des polynômes de Legendre par les dérivées de (1 — x2)'1.

Et, au point de vue de l'Enseignement :

Le Cours d'Analyse infinitésimale de M. Boussinesq, t. H, Calcul intégral, Compléments (Gauthier-Villars, 1890);

Les Leçons sur V E lectricité et le Magnétisme, par Mascart et Joubert (Masson, 1882);

Les Leçons sur V Électricité, par Eric Gérard (Gauthier- Villars, 1897);

Les Leçons sur le potentiel newtonien, par M. Poincaré (Carré et Naud, 1899).

EXERCICES

1. On considère l'espace Compris entre une sphère S et une sphère plus petite S' placée à l'intérieur de S; cet espace est supposé rempli d'une matière homogène de densité p. Calculer l'attraction du corps ainsi constitué sur un point.

Réponse. — Cette attraction est la différence géométrique des attractions des sphères S et S' supposées pleines toutes deux.

Wr fVr

2. L'attraction d'une couche homogène limitée par deux ellipsoïdes homothé- 'V J— ^tiques et concentriques, sur un point intérieur, est nulle Ih Zï

3. Théorème d'Ivory et de Mac-Laurin. — Les valeurs des potentiels de deux ellipsoïdes homofocaux/ en un point quelconque, extérieur à la fois aux deux ellipsoïdes, sont entre elles comme les masses des deux ellipsoïdes. #'X tl/f.i\ 5

4. Solide de plus grande attraction. — Étant donnée une masse de matière homogène, de densité p, quelle forme et quelle position faut-il lui donner pour que son attraclion sur un point P soit la plus grande possible?

Réponse. — En prenant comme origine le point P, la surface limitant le solide est une surface de révolution autour d'un axe passant par P. La méridienne a pour équation en coordonnées polaires

r2= *2cos0,

où k est une constante (Bertrand, Calcul intégral, p. ^3o).

- 5. Équation de Laplace en coordonnées polaires. — En appelant r, 0, cp les coordonnées polaires du point potentié x, y, z, l'équation de Laplace AU— o prend la forme

cP(XJr) 1 d ( . dU\ 1 d2U

sinP

àr2 sin0 dô\ db J ' sin29 dy2

6. Polynômes harmoniques. — Former le polynôme le plus général V„ homogène et de degré 11 en x, y, z vérifiant l'équation de Laplace AVn= o.