I VI

Réponse. — Dans l'expression de ce polynôme figurent 2 « 1 constantes arbitraires. Ainsi

V2 ( x, y, z ) = \ ( x- — z2 ) + *2 ( y1 - -" ) -+- \yz - a , zx -h à5 ay , avec cinq constantes.

. 7. Fonctions Yn de Laplace. - Si l'on substitue aux coordonnées rcctilignes rectangulaires x, y, 5 les coordonnées polaires dans l'espace

x = r sin6 cos?, jk - - r sinô sin?,

/* cos6,

le polynôme homogène V„ ( X, y, z ) de l'exercice précédent prend la forme /•"Y„(0, ç).

Démontrer que la fonction Y;> ainsi obtenue vérifie l'équation aux dérivées partielles

1 d / . ,0Y..\ 1 d2Yw

— ■ — mnH- "

sine r;e v ô§

sin-

r)co:

L'intégrale double

/ sin 0 6/J6 / Y„ (8,9; Y„* ( 0, <p) e?»

es/j nulle tant que les entiers n et n! sont différents.

Pour démontrer ce fait, il suffit de considérer le volume compris entre deux sphères concentriques de centre O et de rayons /' et H, et de remarquer que, les polynômes Vra(a?, y, z) et \n>(x, y, z) étant finis et continus dans ce volume, on a ( n° 595)

l'intégration étant étendue aux surfaces des deux sphères. En calculant cette intégrale en coordonnées polaires, on trouve précisément l'équation à établir.

+m 8. Théorème de W . Thomson. — Si une fonction ¥{x,y, z) vérifie l'équation de Laplace, la fonction

(r2=x2-{-y2-hz-)

la vérifie également {Journal de Liouville, t. XII, Extraits de lettres adressées à M. Liouville par M. W. Thomson).

- 9. La fonction de Green G(x, y, z; a,b, c) dépend des coordonnées courantes .r, y, z et des coordonnées a, b, c du point fixe à partir duquel on compte la distance /\ Démontrer que cette fonction est symétrique en «, b, c et x, y, z. Cela est facile à vérifier pour la fonction de Green dans le cas d'une sphère (n° 599).

10. Attraction d'une couche sphérique homogène sur un point. Application de l'équation de Laplace. — La disposition de la matière attirante étant symétrique autour du centre O de la couche, la valeur du potentiel U(x, y, z) de la couche en un point P est évidemment une fonction de la seule distance r du