CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. I

point P au centre. On peut dire aussi que U est fonction de -

U = <p(-J> r = \Jx2+y2^-z2.

Dans la partie extérieure de la couche, comme dans la partie creuse, on a AU = o. Exprimant ce fait, on trouve

A et B étant des constantes :

i° Dans la partie extérieure B = o, A = M ( n° 584 );

2° Dans la partie creuse, A = o, car U doit rester fini au centre.

11. Étant donné un ellipsoïde homogène, on peut recouvrir la surface de l'ellipse focale d'une simple couche de densité convenablement choisie en chaque point, de telle façon que le potentiel de cette couche coïncide à l'extérieur de l'ellipsoïde avec celui de l'ellipsoïde. A l'intérieur de l'ellipsoïde, le potentiel de la couche peut être regardé comme le prolongement analytique de la fonction harmonique donnant à l'extérieur le potentiel de l'ellipsoïde (Lipschitz, Journal de C relie, t. 61; i863).

12. Fonctions harmoniques uniformes à trois groupes de périodes. — Soient (a, b, c), (a', b', c'), ( a", b", c" ) les coordonnées de trois points non situés dans un même plan avec l'origine. Imaginons une fonction harmonique F (x, y, z) uniforme dans tout l'espace et telle que

F ( x h- a, y -f- bt z h- q ) = F (a? + a', y + b\ z + c' )

on dit que cette fonction admet les trois groupes de périodes (a, b, c), (a', b', c'), (a", b", c").

Géométriquement, si l'on construit le réseau des parallélépipèdes ayant pour sommets les points de coordonnées ma + m1 a' -+- m" a" ', mb + m' b' -+- m" b" , me -f- m' c' H- m" c" où m, m', m" sont des entiers quelconques positifs, négatifs ou nuls, la fonction F reprend les mêmes valeurs aux points homologues dans ce réseau. On voit qu'elle est analogue à la partie réelle d'une fonction doublement périodique d'une variable complexe.

Parmi ces fonctions F considérons celles qui deviennent infinies en des points

isolés, comme - ou comme les dérivées de -• On peut toutes les exprimer à l'aide

de la fonction suivante :

Posons

av = ma -+- m' a' -+- m" a",

6V = mb -h m' b' -+- m" b", cv = me -h m'e' -h m" c",

r = sjx1 -+- y2 h- z2, p = \Ja2 -h bc, -+- c2, xa^-h ybv+ zc^

cosep —

R = \/{x — av)2-H (y — 6V)2+ {z — cv)2= \J r2 — a r p cos y + p2;