III

puis considérons la série

zo, y, m) = i +2I'[b ; - p cos? ~ ?(! tos!?'- ï).

où la somme \ est étendue à toutes les combinaisons de valeurs des entiers m,

m', m", la combinaison m = m' = m" = o étant exceptée.

Pour toutes les positions du point (a?, y, .s) distinctes des points («v, 6V, cv) la série est convergente : elle définit une fonction harmonique Z qui existe dans tout l'espace excepté aux points (<zv,ôv, cv) en chacun desquels elle devient infinie de telle façon que la différence

reste finie en ce point.

Cette fonction est analogue à la fonction Z de M. Hermite ou à la fonction

Ç= — de VVeierstrass dans la théorie des fonctions elliptiques ( Voyez Appell

et Lacour, Fonctions elliptiques). A l'aide de cette fonction Z on peut construire les fonctions harmoniques F (a?, y, z) h trois groupes de périodes, de

même qu'avec la fonction — , on construit les fonctions elliptiques (Voyez Acta

Mathematica, t. IV et VIII, et Journal de Mathématiques, 4e série, t. III).

13. Fonction de Green pour l'intérieur d'un parallélépipède rectangle. — Ce problème a été traité par Riemann {Schwere, Electricitàt und Magnetismus, p. 84). La fonction en question peut être exprimée d'une façon simple à l'aide de la fonction Z de l'exercice précédent {Acta Mathematica, t. VIII, p. 275).

14. Exemple de onction harmonique non uniforme. — Soient a, b, c, a, [3, y des constantes réelles, x, y, z des variables réelles; considérons la fonction

y (x — a — «a)2+ {y — b — «P)2-i~ (z — c — ij)2 où i est l'unité complexe. Cette fonction peut se mettre sous la forme

Dans ces conditions, les deux fonctions cp et ^ sont harmoniques; elles deviennent infinies sur le cercle d'intersection de la sphère

avec le plan

En un point P (x, y, z) de l'espace chacune de ces fonctions a deux déterminations qui s'échangent quand le point P décrit un contour fermé traversant l'aire du cercle {Mathematische Annalen, t. XXX, p. i55; 1887).

On trouvera d'autres exemples dans un Mémoire de M. Sommerfeld paru dans les Proceedings of the London Mathematical Society, Vol. XXVIII.

15. Soit une fonction harmonique U uniforme finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans un volume V limité par une surface S. Si, sur la sur-