CHAPITRE XXX. — EQUATIONS GENERALES. I

compris entre S et S2, sur les éléments de A compris entre S et S^ Alors, puisque z est très petit, on peut, clans la plupart des cas, le négliger et raisonner comme si z était nul, c'est-à-dire comme si les actions de contact de B sur A étaient uniquement appliquées aux éléments superficiels de S : c'est ce que nous ferons dans tout ce qui suit.

L'ordre de grandeur de z est indiqué, dans certains cas, par les expériences de Quincke sur la capillarité. Si l'on étudie les phénomènes de la capillarité, dans l'eau, avec un tube de verre recouvert intérieurement d'une couche d'argent très mince, on reconnaît que ces phénomènes sont identiques à ceux qu'on obtient avec un tube d'argent de même diamètre, dès que la couche d'argent atteint une épaisseur de omm,oooo54- C'est donc là l'épaisseur de la couche d'argent qui agit sur l'eau en contact avec le métal ( ! ).

610. Équations d'équilibre. — Supposons d'abord que le système soit en équilibre. Dans ce cas, il faut que les forces extérieures agissant sur le système satisfassent aux six conditions d'équilibre d'un système de forces appliquées à un corps solide.

Ecrivons ces six équations. La force extérieure agissant sur un élément de volume dz a été désignée par Fp di\ désignons par X, Y, Z les projections de la force F rapportée à l'unité de masse sur les axes : les projections de F p d-z sont alors pXt^T, pY<r/x, pZ>dt. Nous avons également désigné par T d <r la force extérieure ou effort élémentaire agissant sur l'élément superficiel d<j de la surface limite : appelons T^, T*., Tz les projections de T sur les trois axes : celles de T do- sont alors T^-cfa, Ty-d?, Tzd<7. Les moments de Fpâfr, par rapport aux trois axes, sont

p(jKZ — zY)dz, p(-sX — ,vZ)dx, p(#Y — yX)dz,

x, y, z étant les coordonnées de l'élément de volume dz; les moments de T di sont de même

(yTz — zTy)d?, (xTjc — xT^da, 'xTy — yTx)d<s,

x,y, z étant les coordonnées de l'élément de surface d<r.

En écrivant que la somme des projections des forces extérieures sur chacun des axes et que la somme des moments de ces forces

(') Voir les Leçons sur l'Élasticité et l'Acoustique, de M. Marcel Brillouin. Librairie Labouche, Toulouse, i884-i885. — Voir également les Leçons sur la théorie de V Élasticité, de M. Poincaré. Librairie Carré et Naud.

par rapport à chacun des axes est nulle, on a les six équations

fffpXdT+ffTxd<7=0,

JfJi'Y*+ffuT>*-0'

| f f fpZdz -4- f fTzda = o, j%JJ?(yZ-zY)d'z+Jj{yrVz-zrTy)d<s = o, f f fp(zX ~xZ)di-i- f f(zTx—xTz)dv = o, JJJp(xY-yX)dx + fJ(xTy-yTx)da^o.

Dans ces équations, les intégrales triples sont étendues au volume V et les intégrales doubles à la surface limite S.

611. Équations du mouvement. — D'après le principe de d'Alembert, on doit écrire qu'il y a équilibre entre les forces réellement appliquées et les forces d'inertie. L'élément matériel dm de coordonnées x^y, z a une certaine accélération J de projections J^, Jr, 3Z : la force d'inertie de cet élément — J dm ou — Jp dx a donc

pour projections

— pJxdx, — pjydi, — p5zdx.

Ecrivant qu'il y a équilibre entre les forces extérieures et les forces d'inertie, on a les six équations nécessaires

I) p(X — Jar.)rfx-f- / / Txd<J = O,

fffp(Y-Jy)dz + f fjyd* = O,

fi fp(Z — J-)^x— Ç Tt-^œ = o,

p{yZ — zX - --J'J-h- sJj)<:/t -r-

CrTa-«Ty)«fo =o,

r r f p(zX — xZ- zix^xiz)di + f f(zTx—xTz)d<s = o, f f fp(xY-yX-xty + y)x)dz- Tf(xTy—jrTx)da=ot