CHAPITRE XXX. — ÉQUATIONS GÉNÉRALES

Ces équations se réduisent évidemment à celles trouvées pour le cas de l'équilibre, quand on y fait J = o.

612. Équations de l'équilibre ou du mouvement intérieur. — Dans le système matériel continu que nous venons d'étudier, imaginons une surface fermée quelconque S' (fig> 3o5). Cette surface fermée divise le volume total V en deux parties, une par-

Fig. 3o5.

Td es

Fpdi:

tie \T/ intérieure à S', une partie \" comprise entre Sf et la surface limite S du système. On peut appliquer au volume Y! tout ce que nous avons dit du volume total V. Les forces extérieures appliquées au système matériel conlinu Y' sont de deux sortes.

D'abord, sur chaque élément di du volume V, agit une force extérieure Fofifx ayant pour projections oXrfx, pYofc, pZdr. Ensuite, sur chaque élément superficiel di de S', agit un effort élémentaire T d<7 qui représente l'action des points de V" continus à di sur les points de Y' contigus à da. Cela revient à dire que, sans rien changer à l'état du système matériel V7, on pourrait supprimer le système extérieur Y;/, en conservant les forces F p dz appliquées aux éléments de masse de V et en appliquant sur les éléments superficiels d<j de S! des forces Td<7. Ces forces T d<j proviennent de l'action des points de V" en contact avec la surface limite S' sur les points de Y1 en contact avec cette même surface. D'après le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, les points de Y' en contact avec S' exercent, sur les points de Y" en contact avec cette même surface, des actions donnant naissance à des forces égales et opposées k T d<y appliquées aux éléments superficiels d<7.

D'après cela on pourra appliquer au volume Vies six équations

du mouvement, écrites plus haut, pour le volume V :

fJfp(yZ-zY-yh^*Jy)dz-i-ff(yTz-zTy)dv = o,

les intégrales triples étant étendues au volume V7 et les intégrales doubles à la surface limite S'. Ces équations auront lieu quelle que soit la surface S' tracée par la pensée dans V intérieur du système continu.

Remarque. — Il est bon de remarquer que les forces extérieures Fp di appliquées aux éléments du volume V peuvent varier avec la forme de la surface S'. Cela arriverait, par exemple, si les éléments du système total V s'attiraient suivant la loi de Newton : alors, la surface séparatrice S' étant tracée, parmi les forces extérieures agissant sur un élément matériel p dx de V , figurerait l'attraction de la partie extérieure Y" sur cet élément, attraction qui varie évidemment quand la surface S' change de forme.

613. Effort s'exerçant sur un élément dn. — Nous venons de voir que, si l'on trace dans Je milieu une surface S', sur laquelle on prend un élément di de coordonnées oc, y, z, l'effort élémentaire s'exerçant sur cet élément est une certaine force Tdv. Cet effort provient de l'action des éléments du milieu contigus à d<7, extérieurement à S', sur les éléments contigus à d<s intérieurement : il en résulte que cet effort ne dépend que de la position de l'élément particulier dç dans le milieu et non du reste de la surface S' à laquelle il est censé appartenir : en d'autres termes, cet effort reste le même si l'on considère do- comme appartenant à toute autre surface tangente à S' au point oc, y, z. Nous pouvons donc maintenant parler de l'effort s'exerçant sur un élément isolé d<7.

Soit un élément superficiel d<7 placé dans le milieu continu, en un point M de coordonnées x, y, z {fig. 3o6) ; choisissons, sur la normale à cet élément, un sens positif MN ayant pour cosinus directeurs a, (3, y. L'élément d<r a ainsi deux faces : l'une positive,