CHAPITRE XXX. — EQUATIONS GENERALES

l'autre négative, la face positive étant du côté de MN. Les éléments matériels du milieu contigus à di du côté négatif exercent, sur les éléments matériels contigus à da- du côté positif, des actions que

Fie. 3o6.

l'on peut remplacer par une force T da appliquée à l'élément da\ nous dirons que cette force est V effort élémentaire s exerçant sur la face négative de l'élément de. La force T est l'effort, s'exerçant sur la face négative, rapporté à l'unité de surface.

Les projections Tx, T7, Tz de T sont, à l'instant t, des fonctions de x,y, z, a, (3, y; ce sont donc des fonctions de £, x.y, z, a, [i, y. Si le système est en équilibre, ces fonctions ne contiennent pas t.

Cet effort T est une pression quand il fait un angle aigu avec la normale MN {fi g. 3o6, I); il est une traction quand il fait avec MN un angle obtus (fig. 3o6, II).

D'après le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, les éléments matériels contigus à da sur la face positive exercent, sur les éléments matériels contigus à da sur la face négative, des actions que l'on peut remplacer par une force Tda égale et opposée à la précédente : cette force est l'effort élémentaire s'exerçant sur la face positive de l'élément da-.

614. Expressions des composantes de l'effort en fonction de a,

P, y. — - Nous venons de voir qu'à chaque instant t, les projections T^, Tr, Tz de l'effort agissant sur la face négative d'un élément cl? sont des fonctions de x, y, z et de a, (3, y. Nous allons montrer que ce sont des fonctions linéaires et homogènes de a,

Prenons dans le milieu continu un point M de coordonnées x, y, z : soit d<y un élément superficiel mené par ce point.

Parmi toutes les positions possibles de l'élément drs autour du point M, supposons d'abord que cet élément prenne une position d<j{ perpendiculaire à Ox, de telle façon que la normale MIN coïncide avec Ox (a = t , ji = o, y = o) : appelons X, , Y, , Z, les composantes de l'effort qui s'exerce sur la face négative de é/o-,, rapporté à l'unité de surface. Appelons de même

les composantes de l'effort, rapporté à l'unité de surface, qui s'exerce sur la face négative de l'élément quand il est successivement perpendiculaire aux axes Oy et Os. Nous allons démontrer que l'on a

'Tr=«Y1+pYtiYYâl

T- = ccZi -h (3Z2 4- yZ3.

Pour cela, menons par le point M trois parallèles aux trois axes de coordonnées et prenons sur ces parallèles des segments infiniment petits MA, MB, MG. Dans \a Jîg. 3o^ nous supposons ces segments dirigés dans le sens positif des axes. Si nous menons le

Fig. 3o-7.

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Tdcr

plan ABC, nous formons un tétraèdre élémentaire MABG : appelons d<r{, d<j2i dv3 les faces BMC, CMA, AMB respectivement perpendiculaires aux axes Ox, Oy, Oz, et da la face hypoténuse; désignons en outre par a, (3, y les cosinus directeurs de la normale à cette face estimée positivement vers l'extérieur du tétraèdre. En