CHAPITRE XXX. — ÉQUATIONS GÉNÉRALES

projetant la face d? sur chacune des trois autres, on a (5) d<jl = a.da, <^<72=(3afo, <fa3 = y afo.

Le tétraèdre étant infiniment petit, la face ABC est un élément plan dont la position limite passe par le point M.

Soient Tr, Tr, Tz les projections de l'effort, rapporté à l'unité de surface, s'exerçant sur la face négative de l'élément da; les projections de l'effort s'exerçant sur la face positive seront — T^, — T — T

Cela posé, on peut regarder le tétraèdre élémentaire comme libre, à condition d'appliquer :

i° A son volume dz, la force extérieure de projections

pXdx, pYf/x, pZdx,

p désignant la densité en M, et la force d'inertie, de projections

— p}xdx, — pjydx, — p5zdx:

2° Sur les éléments superficiels dsK , d<72-> d<j3, d<j les efforts élémentaires de projections

Xjofoi,

Yi^,

Z 1 (ÏQ 1 :

X2 CfCg,

Y2cfo2,

X3ofo3,

Z3ûfo3,

Txda,

— Tyd<7,

— Tzd(j.

La somme des projections de ces forces sur un axe quelconque devant être nulle, on a, sur Ox,

p ( X — J x ) dx -+- Xj dix H- X2 d<j2 -+- X3 d <r3 — T^. d<i — o. D'après les relations (5) cette relation s'écrit

T*=aX1+pX2+ïX3+p(X-J*)^.

dx Mais -7- est nul, car c'est le tiers de la hauteur du tétraèdre issue

de M, hauteur qui est infiniment petite. On a donc

Ta.= aX1-hpX,+-TX,.

On établirait de même les deux autres formules (4).

Nous avons supposé, pour simplifier, les arêtes OA, OB, OC

I'l6 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

dirigées dans le sens des axes positifs, c'est-à-dire a, [3, y positifs; mais les formules obtenues sont générales. Dans ces formules, les quantités

Xi, X2, X3, Yj, Y2. Y3, Zj, Z2, Z3

sont des fonctions de x, y, z et t : car en chaque point du milieu, à chaque instant, ces neuf quantités sont déterminées.

615. Équations générales. — Prenons dans le milieu une surface fermée S' : appelons do- un élément superficiel de S', a, 8, y les cosinus directeurs de la normale à di extérieure à S'. La matière contenue dans S' peut être regardée comme isolée à condition que l'on fasse agir sur chaque élément di l'effort élémentaire s'exerçant sur la face extérieure, c'est-à-dire sur la face positive de cet élément. Les formules (4) donnent l'effort, rapporté à l'unité de surface, s'exerçant sur la face négative d'un élément : sur la face positive, on a donc

(6 \ Tar = -(aX1-+-pX2H-TX3),

Cela posé, en écrivant que les forces extérieures appliquées aux éléments de volume di et aux éléments superficiels do- de Sr et les forces d'inertie se font équilibre, on a les six équations (3). Ecrivons ces équations en tenant compte des valeurs (6) de T^, T} -, Tz : nous avons

\ J j fj(x-jx)dx - ffy xt + px2 4-Tx3)^ = o', 1 1

Jffp(yZ-zY-yJz+zJy)dï

Ces intégrales se transforment par l'application de la formule de Green (n° 534). On a d'abord