CHAPITRE XXX. — EQUATIONS GENERALES. I

La première équation (7) s'écrit donr.

Gomme cette équation doit avoir lieu quel que soit le volume V considéré dans le milieu continu, l'élément différentiel est nul. En appliquant ce même calcul aux projections sur les deux autres axes, on a ainsi les équations

.„ T dXi dX% dX3

p(Y-Jr) =

àZi dZ* dZ%

dz dYz

~dz

Transformons de même les équations (8). On a, d'après le théorème de Green, •

[a(^Z1-^Yt)-f-P(7Z2-^Y2)-4-T(rZ3-SY3)]rf(r

~d(yZ] — zYl) d(yZ2-zY,) d(yZn-zYs)

ou, en développant les dérivées

(dZx dZ% dZ3\ /dYi dY2 dY*

fl/M

u J .J\> L V t>x ^y dz ) \dx dy

L'équation (8) s'écrit alors

dZ\ dZ2 dZ%

j+Z2-Y3ldx.

WpZ — pJ-

dx dy dz

dYi dY, dY,

?Y-^y--^-iy--d7

Mais les coefficients de y et z sont identiquement nuls d'après les équations (g) : on a donc

f f f(Y3~Z2)dx = o.

Gette relation devant avoir lieu quel que soit le volume V, l'élé-

fi8 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

ment différentiel est nul. On a donc

on trouve de même

Y3 = Z2; Zi = X3,

On peut énoncer ce résultat en disant que le déterminant

est symétrique.

Notations. — Nous appellerons, d'après Lamé, NM N2, N3 les éléments diagonaux de ce déterminant

X1-N1, Y2=N2, Z3=N3; T,, T2, T3 les éléments symétriques

Y 3 = Z2 = Ti,

La raison de ces notations est la suivante :

Sur un élément de^ perpendiculaire à 0#, s'exerce un effort que l'on peut décomposer en une force normale à l'élément

et en deux forces tangentielles situées dans le plan de l'élément

Zj = T2,

parallèle à Oy, et

parallèle à Oz. De même pour les efforts s'exerça nt sur des éléments d<r2 et d<Tz perpendiculaires à Oy et O^. La symétrie du déterminant (10) exprime ce fait que la projection, sur 0#, de l'effort appliqué à un élément d?2 mené par M perpendiculairement à Ojk, est égale à la projection, sur .Oy, de l'effort appliqué à un élément d?K mené par M perpendiculairement à Ox.