CHAPITRE XXX. — EQUATIONS GENERALES. I2g
616. Résumé. - Avec la notation que nous venons d'introduire, les formules (4) donnant l'effort sur la face négative d'un élément d<? deviennent
T,= Nia-hT,p-i-T1Y,
\ Ty=TI«-HNtp + TlTï
ce qu'on peut écrire
(12) Tr=£, TJ= Jf, Tz =
en désignant par co la forme quadratique
(i3) ç(a, P,y) = ^(N1a2+N2^+N3Ï2+2T13ï-f-2T2Ïa-i-2T3a(i .
Quant aux équations du mouvement (9) elles deviennent / ,Y . , dNi e)T3 <9T?
,,,x 1 ,v T , àT3 dN2 0Tl
.„ dT, ^ dN3
p(Z — Jz) = -t r- -5— -h -t— ■
\ • ax oy àz
Si le système est en équilibre J^, Jr, Jz sont nuls.
617. Quadrique directrice. — Si, en un point M, à l'instant £, les valeurs numériques des six fonctions N,, N2, N3, T,, T2, T3 sont déterminées, Ja loi des efforts sur les divers éléments superficiels d<j menés par M est déterminée par les formules (11). On peut interpréter ces formules géométriquement et en déduire des images simples pour représenter les directions, les sens et les grandeurs des efforts sur les divers éléments d? passant par M.
Tout d'abord, on peut définir les directions, les sens et les grandeurs des efforts sur les éléments passant par M, à l'aide d'une quadrique de centre M appelée quadrique directrice. Cette quadrique peut être obtenue de la façon suivante :
Soient d<7 un élément passant par M, MN la normale (a, (3, y) à cet élément, T l'effort, rapporté à l'unité de surface, s'exerçant sur la face négative et Tn sa projection sur MN : si Tn est positive, III. 9
l3o EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
l'effort T est une pression, si T„ est négative, c'est une traction (fig. 3o6, I et II). Or, T ayant pour composantes suivant les axes T^, Tj, Tz, sa projection Tn est
ou
(i5) T„=2c?(a, p, T) = N1a2^-N2p2 HN3Y2-h2T1pT + 2T2Ta-^2T3ap.
Le signe de cette fonction montrera si l'effort est une pression ou une traction.
Pour représenter graphiquement la variation de cette fonction Tn quand a, (3, y varient de toutes les manières possibles, Cauchj emploie une méthode analogue à celle qu'on suit dans la théorie des moments d'inertie pour définir l'ellipsoïde d'inertie, et dans la théorie de la courbure des surfaces pour définir l'indicatrice.
Supposons d'abord que a, (3, y aient des valeurs rendant T„ positive (pression). Prenons alors, sur la normale MN à l'élément di {fig. 3o6, I), une longueur MQ définie par
MQ=-^=.
Les coordonnées x' , y\ z' de Q par rapport à des axes Mx' , My' , Mz' menés par M parallèlement aux axes coordonnés sont
v/T„ \/Tn \/Tn
Le lieu du point Q, quand l'élément da tourne autour de M, s'obtient en éliminant a, [3, y entre les relations (i5) et (16). Ce lieu a pour équation
(17) Nt «?'*-+- N27'2} N3^+?.T,7'^+ iJïiz'x'-h 2T3a?y = -+- 1,
c'est-à-dire, sous forme abrégée,
c'est une première quadrique (Q) ayant son centre en M.
Supposons, au contraire, que a, (3, y aient des valeurs rendant Tw négative (traction). Nous prendrons alors, sur la normale MN
