CHAPITRE XXVIII. — INTÉGRALES DE VOLUMES

Quand on fait varier S d'une manière continue en assujettissant cette surface à être toujours limitée au même contour L, Tinlégrale I change en général de valeur.

Cherchons quelle condition doivent remplir F, G, H pour que l'intégrale I dépende uniquement du contour L et non de la surface S.

Pour cela {fi g- 283) déformons d'une manière continue la suiface S passant par le contour L, en conservant le même sens pour les normales et en supposant que dans cette déformation elle ne franchisse aucun point où F, G, H et leurs dérivées premières

cessent d'être finies; nous transformons ainsi la surface S en une autre surface S| pour laquelle le sens positif des normales est M,N, (7.1, (^1, y,) et l'élément superficiel f/ci. On devra avoir

r r(aF 4- pG + vH) fZ7— r r(aiF+ piG + Y,II)f/a,= o. •^ »• s «^ <- s,

L'ensemble des deux surfaces S et S, limite un volume V : la normale MN (a, 1^, y) est extérieure à ce volume, la normale M, N, est intérieure ; si en M) on mène la normale extérieure M,N', ses cosinus directeurs sont

et l'équation s'écrit

rr(aF + pG + YH)^cr+ T /'(a'F H- j3'G 4- y'H ) fZa, = 0.

ce qui veut dire que l'intégrale

C Ç (aF-f- (3G-i-YH)^T J ./s+s,

étendue à la surface totale S + S, , limitant le volume V, doit être

nulle. Mais le contour L étant quelconque ainsi que les surfaces S et S(, la surface S-I-Si est arbitraire. La question à résoudre revient donc à celle-ci : Que dowent être les fonctions F, G. H pour que V intégrale

étendue à une surface fermée quelconcjue soit nulle, c'està-dire pour que le flux à traders une surface fermée quelconque soit nul ?

D'après la formule de Green (n° 534), il faut et il suffit pour cela que l'intégrale triple

étendue à un volume quelconque soit nulle : donc, il faut et il suffit que Ton ait identiquement

^ ^ dx Oy Oz '

c'est-à-dire que la divergence du vecteur F, G, H soit nulle.

Telle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une intégrale de surface ne dépende que du contour.

Cette condition étant remplie, l'intégrale

(aF-^ '^ G -^ '(U) dn

doit pouvoir être évaluée dès qu'on connaît le contour L de la surface d'intégration S. Pour résoudre cette dernière question, nous démontrerons la proposition d'Analyse suivante :

Si trois fonctions F, G, H, de x. jk, z, vérifient la condition{\ i), on peut toujours trouver trois autres fonctions P, Q, R telles que

1 dy dz

' 'J.r Oy