CHAPITRE XXVIII. — INTEGRALES DE VOLUMES. I

|)rise de A en B le long de cette courbe. Cherchons ce que doivent être les fonctions P, Q, R de x, y, z- pour que la valeur de cette intégrale I dépende seulement des positions des points A et B et

Fig. 282.

non de la courbe G. Pour cela, déformons cette courbe d'une manière continue, en conservant les extrémités A et B fixes, de façon que, pendant la déformation, elle ne rencontre aucun point où les fonctions P, Q, R ou leurs dérivées soient discontinues; désignons par C, la courbe ainsi déformée. Nous devons avoir, quelles que soient les courbes C et G),

•^ACB -Ac,!!

ou, en intervertissant les limites de la deuxième intégrale et changeant son signe,

ACBC, A

l'intégration étant faite sur le contour fermé AGBG, A. Ge contour fermé est une ligne quelconque L tracée dans le champ de vecteurs; la question à résoudre revient donc à celle-ci :

Que doivent être les fonctions P, Q, R pour que VinLégrale

Pdx~-Qdj -i- Rdz,

prise le long cV une courbe fermée ciueiconque L, soit nulle?

Pour cela, il faut et il suffit, d'après le théorème de Stokes, que l'intégrale double

étendue à une aire s quelconque, soit nulle. Or, ceiie condition III. 2

l8 EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES M I L I K U X CONTINUS.

exige que, sous le signe d'intégration, les coefficienls de a, ,0, v soient nuls. Ln eilet, si, par exemple, — n était i^as identi-

quement nul, on pourrait prendre pour surface S une aire plane

.iM 11 • oR dO . parallèle au plan des yz-, assez petite pour que — ; jz ^^^ ""

signe constant sur cette aire. On aurait alors a=i, |j = Y=:oel l'intégrale J avant tous ses éléments de même signe ne serait pas nulle. Donc, il faut et il suffit que

dR ôQ (}P ()R rJQ r)P

ôy Oz ' (Jz Ox ' ()x Oy ^

c'est-à-dire que le tourbillon soit nul, ou encore que l'expression V dx^(ldy-^Rdz

soit une ditTérenlielle totale exacte d'une fonction \][x,y^z). S'il en est ainsi, l'intégrale I a pour valeur la différence des valeurs de U aux deux points A et B.

On retrouve de cette façon les propositions démontrées par une autre voie au sujet du travail (Chap. I\ )•

54o. Deuxième application. — Xous venons de trouver les conditions pour qu'une intégrale de ligne ne dépende que des extrémités de la ligne d'intégration et non de cette ligne ellemême, et nous avons, en supposant ces conditions remplies, exprimé celte intégrale en fonction des extrémités de la ligne.

Nous allons chercher de même la condition pour qu'une intégrale de surface ne dépende que du contour L limitant cette surface; puis, en supposant cette condition remplie, nous exprimerons l'intégrale de surface en fonction du contour.

Soit un champ de vecteurs W défini par les projections F, G, H du vecteur W sur les axes. F, G, H sont des fonctions de .r, y, z comme plus haut. Soit un contour quelconque L : faisons passer par ce contour une surface continue quelconque S limitée au contour, et considérons l'intégrale de surface

1= r AaF--;3G--YH)c/7= T Tw^

ire S. La signification de cette intégral précédemment : 1 est le flux de vecteur à travers la surface S.

étendue à l'aire S. La signification de cette intégrale a été donnée