CHAPITRE XXVIII. — INTEGRALES BE VOLUMES. ai

En d^ autres termes^ le vecteur F, G, H peut toujours être regardé {et cela d'une infinité de façons) comme le tourbillon d' un autre vecteur P, Q, R.

Pour le montrer, cherchons d'ahord une sohition particulière P,, Qi, R, des équations (12). On peut prendre R,=^o, puis pour vérifier la deuxième équation

^^ = J G(.v,y,z)dz

où Zq est une constante. La première équation donne alors

la fonction la plus générale Qi vérifiant cette relation est

qi = —J F{.r, y, z)dz-i-o{x, y),

o étant une fonction arbitraire de Jc cl y.

En portant ces valeurs de P) et Q) dans la troisième équation, on a

D'après l'identité (11), supposée remplie, la quantité sous le signe / est — -^z dz., on a donc

do

^ -h H(^, y, z) — U(x, y, Zo) = Il(a:, y, z),

d'où

do

^ = }l{x,y,Zo).

On pourra, par une quadrature, déterminer une fonction co vérifiant cette dernière équation

Nous avons ainsi déterminé trois fonctions particulières P,, Q,, R , telles que

dy

dz

àPi

dRi

dz

dx

dx dy

Pour avoir les fonctions P, Q, R les plus générales vérifiant les équations (12), il suffit de remarquer que l'on a, par soustraction,

()(R-R,) c)(Q-Qi) „

ày

àz

rJ(P — p,)

cJ(R — Ri)

ôz

dx

dx Oy

ces conditions expriment que P — P, , Q — Qi , R — R^i sont les dérivées partielles d'une fonction U(^, y, r) ; on a donc

U étant une fonction arbitraire de x^ y, z.

Nous pouvons maintenant revenir à notre problème. Si la condition (1 i) est remplie, l'intégrale

i'xF -r- ?G--YH)f/7,

étendue à une surface S limitée par un contour L, peut s'écrire, à l'aide des fonctions P, Q, Pv que nous venons de calculer,

elle est donc, d'après la formule de Stokes, égale à l'intégrale

Pdx-~q dy -r-^dz

prise sur le contour. Cette dernière intégrale doit avoir la même valeur quelle que soit la fonction arbitraire U figurant dans les formules (t3). C'est ce qu'il est aisé de vérifier. En y remplaçant P, Q, R par les expressions (i3) on obtient

f(Pi dx -^Qidy — Ri dz) -4- f

expression indépendante de U, car

du.