CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. I
la paroi plane S; comme ces pressions ont une résultante p^S appliquée au centre de gravité G de S, la somme de leurs moments par rapport à A est
— />oS.GP,
GP étant la distance du centre G à l'axe; le signe — provient de ce que les pressions sur S tendent à faire tourner le corps autour de A en sens contraire des pressions sur C. On a donc
M— /JoS.GP =0.
Remarque. — ■ D'après le théorème de Guldin, le volume V de la surface de révolution engendrée par une rotation complète de C ou de S autour de A est
V = S2t:GP; on a donc
La somme des moments des pressions appliquées à une surface courbe (Z par rapport à un axe, est égale au produit de
^ par le volume de révolution engendré par la rotation de C
autour de Vaxe.
644. Liquide pesant en équilibre isotherme. Plan de charge. Pressions sur xine paroi plane. — Soit maintenant un liquide pesant incompressible et à une température constante : la densité p est alors constante, et le poids de l'unité de volume du liquide est
T5T = ùg.
Si Ton prend un axe O:; vertical descendant, l'équation d'équilibre est
dp ^= ij5 dz, d'où
Pq désignant la pression à la hauteur z^.
Le liquide étant supposé en contact avec l'air au repos, la surface libre est horizontale. Supposons que Zq soit le z de cette
l8o ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
surface libre; alors jo^ est la pression sur la surface libre, c'està-dire \^ pression atmosphérique.
La formule (i) donne/? en un point quelconque.
Plan de charge. — Nous pouvons écrire
expression de la forme
(2) /> = to(^ — ^i)-
OÙ
Le plan ^ = :^, est le plan de charge : ce plan est situé à une hauteur — au-dessus de la surface libre.
D'après la formule (2), la pression dans le liquide est la même que si l'atmosphère était supprimée et le niveau du liquide remonté jusqu'au plan de charge. On peut aussi énoncer ce fait de la façon suivante qui le rend intuitif : rien ne serait changé à l'état du liquide, si l'on supprimait l'atmosphère et si Ton ajoutait, audessus de la surface libre S^ du liquide, une couche du m.ême liquide dont la pression sur Sq fût égale à ce qu'était la pression atmosphérique; par cette opération, le niveau du liquide serait porté jusqu'au plan de charge.
Prenons le plan de charge comme plan des xy : alors
et la pression en un point quelconque M est donnée par
p = xaz.
Pressions sur une surface fermée. — Si l'on plonge dans le liquide un corps solide, d'après le principe d'Archimède, les pressions sur la surface ont une résultante unique égale et directement opposée au poids du liquide déplacé.
Inversement, si l'on imagine dans le liquide une surface fermée creuse remplie par le liquide, les pressions du liquide contenu dans cette surface sur les éléments de la surface ont une résultante unique égale au poids du liquide intérieur.
