CHAPITRE XXXI. - HYDROSTATIQUE

Pressions du gaz sur une surface fermée. — Si Ton plonge un corps solide dans le gaz, chaque élément superficiel ch supporte une pression normale /?„ ch : d'après le principe d'Archiinède, la résultante de ces pressions est égale et opposée au poids du fluide déplacé, mais comme nous négligeons p «^, ce poids est nul, et les pressions noiniales p^dn se font équilibre.

Le même fait a lieu pour Tensemble des pressions exercées par le gaz sur l'enveloppe fermée qui le contient

Pression du gaz sur une paroi plane. — Soit une paroi plane sur laquelle nous considérons une aire déterminée S.

Les pressions p^d's s'exerçant sur les éléments di de S étant normales à la paroi sont des forces parallèles, de même sens, proportionnelles aux éléments superficiels. Elles ont donc une résultante unique normale à la paroi, égale à la somme /^^S des composantes et appliquée au centre de gravité de l'aire S.

Pressions du gaz sur une paroi courbe.^ — Soit C une portion de paroi courbe : sur chaque élément di de C s'exerce une pression normale p^dy., ces forces élémentaires appliquées au corps solide C se réduisent en général à une force et à un couple.

On calculera facilement, par des intégrales doubles étendues à l'aire courbe C, les sommes des projections des pressions élémentaires sur les trois axes de coortionnées et les sommes de leurs moments par rapport aux trois axes. Nous nous bornerons à donner une méthode géométrique que nous empruntons à l'Ouvrage de M. Poincaré, Cinématique et Mécanismes, ..., cours professé à la Faculté des Sciences (Carré et Naud ; 1899).

Projections. — Pour calculer la somme X des projections des |)ressions sur une droite D {fig. 3oy), construisons une surface

Fig. 309.

Cylindrique avant ses génératrices parallèles à D et passant par le contour de la surface courbe C : puis menons une section droite AB de ce cylindre, et appelons S l'aire de cette section. La surface

lyS ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

C, la surface cylindrique et la section droite AB forment une surface fermée. Nous avons vu plus haut que les |)ressions sur les divers éléments de cette surface se font équilibre : la somme de leurs projections sur la droite D est donc nulle. Or cette somme se compose : i" de la somme X des projections des pressions appliquées à Cj 2" de la somme des projections des pressions appliquées à la surface cylindrique, somme qui est évidemment nulle; 3" de la somme des projections des pressions appliquées à la section droite, somme qui est égale à — /^oS.

On a donc

on en conclut que la somme des projections, sur un axe D, des pressions élémentaires qui s'exercent sur une surface C est égale à Pq multiplié par la projection orthogonale de C sur un plan perpendiculaire à D.

Moments. — Calculons maintenant la somme M des moments des mêmes pressions par rapport à un axe A. Pour cela, construisons la surface de révolution engendrée par la rotation du contour de C autour de A; puis coupons cette surface analogue à un tore par un plan passant par A de façon à obtenir une section méridienne AB d'aire S {fig. 3 10).

Fig. 3io.

Nous aurons ainsi une sui-face limitée par C, par la surface de révolution et par la section méridienne S. Les pressions appliquées aux éléments de cette surface se faisant équilibre, la somme de leurs moments par rapport à A est nulle. Cette somme se compose : i" de la somme des moments cherchée M; 2'^ de la somme des moments des pressions appliquées à la surface de révolution, somme qui esl nulle, car les normales à cette surface rencontrent l'axe A; ■>" de la somme des moments des pressions appliquées à