CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. If
développant z par la formule de Mac-Laurin, pour de petites valeurs de œ et r,
(i) z= ~(roX^-^toy^)^...,
OÙ /'o et /(, sont positifs, les rayons de courbure principaux en C, CM et Cm ayant pour valeurs — et — • Les équations de la normale C'N' au point C'ix, y, z) sont
(G'N') ^Ln^^XjzZ^^Zli.
La perpendiculaire \x^.' a pour projection sur le plan des xy la perpendiculaire Cv à la projection de C'N' sur ce même plan. Le plan z^-Y' a donc pour équation
<Gv) pX — q\^o.
En associant cette équation aux équations de C'ÏN', on en déduit les coordonnées du point <^ . Cherchons en particulier le Z de ce point qui est le même que celui de <j.. Nous avons, en tirant X et Y des équations (C'N') pour les porter dans l'équation (Cv),
px -~- qy
p--^qou, d'après les valeurs àe p el q tirées de (i),
tly^'\-
Quand C tend vers C, .r, j-, z tendent vers zéro et le rapport
— tend vers une limite tanga, a étant l'angle que fait avec Ox la
direction limite de CC, c'est-à-dire la tangente en C à la courbe suivant laquelle C tend vers C.
On a ainsi
- ^0 langea
limZ = G u. =
l'I -r- tl tan£r2a
La valeur limite de Ca est donc comprise entre — et —, c'està-dire entre CM et Cm; elle est égale à l'une de ces quantités
igS ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
quand a est égal à o ou à -, c'est-à-dire quand la direction limite
de ce est une direction principale de la surface en C.
Les centres de courbure M et m correspondant au maximum et au minimum de Cu. s'appellent le grand et le petit métacentres relatifs au point C.
Remarque. — La direction limite de CC, de coefficient angulaire tanga, et la direction limite de la perpendiculaire commune \).]jJ ou de sa parallèle OX sont conjuguées par rapport à la conique indicatrice des courbures de la surface (C) au point G.
En efl'et, la conique indicatrice des courbures est actuellement l'ellipse
L'équation de la droite Cv parallèle à ^uJ est p\-^ qY = o, ou, d'après les valeurs de/? et q,
l /'qX-t-. . .jX -~ {toy ---.. .)Y = o,
Quand x eV y tendent vers zéro, de façon que — tende vers tanga, cette équation devient
/'oX -î- t^X tanga = o,
ce qui est l'équation du diamètre conjugué de la direction de coefficient angulaire tanga dans l'indicatrice.
Ce fait résulte aussi géométriquement de ce que jj^va' est parallèle à l'intersection des plans tangents en C et C (théorème des tangentes conjuguées).
600. Quatrième théorème. — Soit I le moment d'inertie de faire de la flottaison par rapport à un axe d'inclinaison OX, le méiacentre correspondant ]x est à une distance de C
Considérons, comme plus haut, un plan de flottaison horizontale FL et un plan infiniment voisin F'L' faisant avec lui l'angle 0 et le coupant suivant l'axe d'inclinaison OX.
