CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE

Donc, il faut et il suffit que le point G soit à la fois au-dessous des deux centres de courbure principaux M et m relatifs au point C, c'est-à-dire au-dessous du petit métacentre m.

L'expression de GH montre que, si G est au-dessus du grand métacentre, la valeur GC de GH correspondant à x = y ^ o est un maximum. Si G est placé entre les deux métacentres M et m, la normale GC n'est ni un maximum ni un minimum, car dans l'expression de GH les coefficients de x- et y- sont de signes contraires.

Résumé. — Pour obtenir les positions d'équilibre d'un corps pesant reposant par une surface (C) sur un plan horizontal fixe, il faut mener du centre de gravité des normales à la surface (G); soient GC|, GCo, • . • ces normales. A chacune d'elles GC répond une position d'équilibre obtenue en mettant le corps en contact avec le plan horizontal par le point C; pour que cette position soit stable, il faut et il suffit que, dans cette position, G soit audessous du petit métacentre relatif au point de contact C.

Remarque. — Dans cette théorie, on peut supposer indilîéremment le point G à l'extérieur ou à l'intérieur de la surface (C), à condition de donner un signe à GH, comme nous l'avons fait. Mais, si cela paraît plus simple, on peut toujours remplacer la surface (C) par une autre contenant le point G à son intérieur.

En effet, construisons une surface (C() parallèle à (C), obtenue en portant sur les normales extérieures à (C) une longueur constante /. Pendant que (C) reste en contact avec un plan horizontal fixe P, (C) ) reste en contact avec un plan horizontal fixe P, placé à une distance /au-dessous de P, et réciproquement. On peut donc regarder le corps comme assujetti à reposer sur un plan horizontal fixe P, par la surface (C/j : et l'on peut toujours prendre / assez gi'and pour que G soit à l'intérieur de (C, ).

Théorème. — La recherche des positions d'équilibre stable peut se ramener à la recherche des plus courtes distances du point G à la surface ( C).

Nous venons de voir qu'on obtient les positions d'équilibre stable du corps en cherchant les points où le plan langent à la surface (C) est à une distance minimum du centre de gravité. On

■loS ÉQUILIBRE ET .MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

peut remplacer ce problème par un autre quelquefois plus simple et chercher les points de la surface (C) tels que leur distance au centre de gravité soit un minimum. En effet, pour montrer que ces deux problèmes sont équivalents, remarquons d'abord que, pour que la distance GG du point G à un point C de la surface soit un minimum ou un maximum, il faut que GG soit normal en G. Supposons cette condition remplie et prenons les mêmes axes que plus haut; il faut montrer (/?o-. Sai) que si GG est un maximum ou un

minimum du segment GH, la valeur absolue de GG est aussi un maximum ou un minimum de la distance GG' et réciproquement. Or on a

GG' =x- — y--i-(z — ri-;

remplaçons z par son développement (i) et ordonnons GG' par rapport aux puissances de .r et j^ en nous bornant aux termes du deuxième ordre. Nous avons