CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION d'uN MILIEU CONTIM

Je point P aux points ABC et le point P^ aux points A( B, G, on obtient deux tétraèdres dans lesquels les arêtes correspondantes sont égales : ces tétraèdres sont donc égaux ou symétriques : Mais, comme par hypothèse la transformation du milieu de l'état cil à l'état Ai a lieu d'une manière continue, sans que le déterminant

cesse d'être positif, les deux tétraèdres ne peuvent pas êtie symétriques et sont nécessairement égaux. On amènera donc tous les points tels que P à coïncider avec les points correspondants P(, en déplaçant le premier milieu tout d'une pièce de façon que le triangle ABC se place sur son égal A) B, G, .

On a alors nécessairement p, =^ p et par suite D ;= i .

Quant à la réciproque, elle est évidente : si la déformation est nulle, on a identiquement ds'\ ^^^ ds- et par suite les six fonctions Zi et y/ sont nulles.

Remarque . — Nous avons dit que, le déterminant D étant positif le tétraèdre matériel PABG ne peut pas se transformer en un tétraèdre symétrique; en effet, il est facile de vérifier que, dans une transformation par symétrie, le déterminant D est égal à — i .

Indications sur la démonstration analytique. — En égalant à zéro les six expressions (14) de s,, z^, £3, Yi> Y2, Ys, on a des équations au\ dérivées partielles définissant u, V, w en fonction de x, y, z. L'intégralion de ces équations montre que u, v. "W et, par suite, x^, yi, Zi sont des fonctions linéaires de x, y, z :

Xi=: a -i- (xx -+- oLiy -+- oi^z, yi=b ^ p^ -+- j3,j -I- p,^, ^1 = c -T- Y^? -H Yi J -î- Y2^î

où a, b, c sont des constantes quelconques que nous regarderons comme les coordonnées d'un certain point fixe O', mais où a, p, y, a,, ^j, yi, «3, 32, Y2 vérifient les six relations qui expriment que ces quantités sont les cosinus directeurs de trois axes rectangulaires O'x', O'y', O'z', par rapport aux axes Ox, Oy, Oz. En outre, ces trois axes- sont orientés comme les axesOx, y, z, car le déterminant D est actuellement le déterminant des neuf cosinus a, p, y, «i, p], Y17 °'2, P2, Y2 qui est égal, comme on sait, à ri= I. Mais D étant essentiellement positif, le déterminant des neuf cosinus

est r- 1 et rorientation des deux, systèmes d'axes est la même. Dès lors, prenons le milieu Si regardé comme invariablement lié aux axes Ox,y, z et transportons-le tout d'une pièce de façon que les axes Ox^ y^ z se superposent à 0'x',y\z' : chaque point P du milieu Jl ira se placer sur le point correspondant Pi du milieu Jlj.

Second théorème. — Deux déformations d'un même milieu A, pour lesquelles les six fonctions ti et ^i sont identiques, sont des déformations identiques, c' est-à-dire telles que Von passe de l'une à l'autre par un déplacement d'ensemble, et réciproquement.

En effet, la première déformation amène le milieu <iR. à l'élatJl, ; un élément linéaire <:/5, de milieu Jl, est lié à l'élément corre>- [jondant ds du milieu A par la relation (12). La seconde déformation amène le milieu ôl à l'état cJloj "« élément ds^ du milieu déformé cïRo est lié à l'élément ds du milieu primitif SI par une relation analogue à (12). Comme les six fonctions e^- et yi sont ^supposées les mêmes dans les deux déformations, on a

dsl = ds\.

Deux éléments linéaires correspondants des deux milieux Jl) et <ÎR.2 sont donc égaux. On en conclut, comme dans le théorème précédent, que le milieu Jl, elle milieu Jlo peuvent être superposés par un déplacement d'ensemble.

Inversement, si les deux déformations transformant Jl en J\, puis en ^ilj sont identiques, on a

ds\ = ds\

et les six fonctions £, et "i sont les mêmes pour les deux déformations.

668. Dilatations linéaires autour d'un point du milieu primitif : ellipsoïde des dilatations en ce point. — Les considérntions suivantes précisent la signification des six coefficients £/ et y/ .Soient P un point choisi dans le milieu primitif et Pj son correspondant dans le milieu déformé. Prenons un point quelconque P' infiniment voisin de P situé à la distance W ^^ ds du point P; à ce