CHAPITRE XXXn. — DEFORMATION D UN MILIEU CONTINU. lot
point correspond un point P', infiniment voisin de P| et à une distance P, P', = dSi de P| .
L'élément linéaire PP', en passant à la nouvelle position P( P', , change de longueur et d'orientation. Portons ici notre attention uniquement sur le changement de longueu/: Vélémenl PP' subit une dilatation positive ou négative ds, — ds et le coefficient o de cette dilatation (rapport de la dilatation à la longueur primitive) est
^ r/S| — r/s ds\
Cette quantité ô peut prendre toutes les valeurs positives, négatives ou nulles, à l'exception de la valeur — i. Elle varie autour du point P, regardé comme fixe, avec la direction de l'élément PP'. Appelons a, [3, y les cosinus directeurs de PP';
dx Q ^ dy dz
ds ds ds '
la formule fondamentale ( i \ ) donne
' -,- 2 Yi p Y -(- 2 Y2 T^ -+- -i. Y3 a ? •
Pour représenter géométriquement la variation du rapport
Is
ds
' autour du point P, portons'sur PP' une longueur
dsi i + ô
et cherchons le lieu du point Q, quanti on donne à P' toutes les positions possibles autour du point déterminé P. Par rapport à des axes PX, PY, PZ menés par P parallèlement aux axes coordonnés, le point Q a pour coordonnées
D'après la relation (i6), le lieu du point Q, quand a, [ii, varient, est donc la quadrique
''' î H-2YiYZ4-2Y2ZX + 2Y3XY = i.
ds
ds „
ds
~ dSi '''
dsi
24o ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
Gomme le point Q est réel, quelle que soit la direction a, P, *'. cette quadrique est un ellipsoïde de centre P : on l'appelle ellipsoïde des dilatations au point P. Cet ellipsoïde étant construit, on connaît les dilatations linéaires de tous les éléments infiniment petits PP' autour de P. La direction de PP' prolongée perce l'ellipsoïde en un point Q, et l'on a, pour le coefficient de dilatation de PP',
La dilatation peut être positive, négative ou nulle : pour distinguer les divers cas, décrivons, de P comme centre, avec l'unité comme rayon, une sphère S : cette sphère coupe l'ellipsoïde suivant une courbe C qui divise la surface de l'ellipsoïde en deux régions, l'une E^ extérieure à la sphère, l'autre E/ intérieure. Si la direction PP' de l'élément ds perce l'ellipsoïde en un point Q de la région extérieure E^., PQ est supérieur à i, o est négatif et lélément se contracte dans la déformation ; si Q est dans la région 'intérieure E/, o est positif et Télément s'allonge; si Q est sur la. courbe de séparation G, 0 = 0, l'élément ds ne change pas de longueur. Il peut arriver que la sphère S ne coupe pas l'ellipsoïde; alors la courbe G n'existe pas : la région E^ ou la région E/ envahit tout l'ellipsoïde, suivant que l'ellipsoïde est tout entier extérieur ou intérieur à la sphère S; dans le premier cas, les éléments linéaires issus de P se contractent tous; dans le second, ils se dilatent tous.
En prenant comme origine le point P, la courbe G est définie par l'intersection de l'ellipsoïde (i-) avec la sphère de rayon i
Le cône lieu des éléments PP' issus de P, qui ne changent pas de longueur, a pour sommet P et pour directrice la courbe G : son équation s'obtient en retranchant membre à membre les équations
(17) ei (S) de l'ellipsoïde et de la sphère : on a ainsi le cône
eiX2-^£2Y2-^£3Z2-f- YiYZ-f^YiZX-^ YaXY = u qui n'existe pas quand la sphère S ne coupe pas l'ellipsoïde.
