CHAPITRE XXX II. — DÉFORMATION d'uN MILIEU CONTINU

Significations géométriques particulières des coefficients e, , co, £3 ; dilatations des éléments primitivement parallèles aux axes de coordonnées. — ^^ Imaginons un élément PP'= (i5 issu de P et parallèle à Ox : appelons o, son coefficient de dilatation. Si l'on désigne par dSf la longueur de cet élément après la déformation, on a, d'après les formules précédentes (i6) où

-^=/i + -2£i, Oi = y/i-h- 'lîi — i;

de même en appelant Oo et S3 les coefficients de dilatation de deux éléments linéaires issus de P parallèles aux axes Oy et O^, on a

Ces formules définissent géométriquement s,, e^, £3 en chaque point P du milieu si.

669. Dilatations angulaires autour d'un point. — - Soient deux éléments linéaires infiniment petits ds = PP' et ds'^PQ' issus du point P : soient dx, dy, dz les projections du premier, dx\ dy\ dz' celles du second : l'angle Q de ces deux directions est

donné par

ds ds' CCS 0 = dx dx -r- dy dy -+- dz dz' .

Après la déformation, les points P, P', Q' sont venus en P,, P'^ , Q', , les deux éléments ds et ds' se sont transformés en dSi^PiP\, ds\ = P, Q', : si nous appelons dxi , dyi ^ dzi et dx\ , dy\ , dz\ les projections de ces éléments, le nouvel angle Q| formé par les éléments déformés est donné par

dsi ds\ CCS 61 = dxi dx\ -f- dyi dy^ -\- dz^ dz\.

La variation 9, — 0 est appelée la dilatation de l'angle P'PQ'. L'expression de cosO, est aisée à former : d'après les formules

;a7i = a7 + u, jki=J + v, ^, = ^ -r- w, OÙ u, V, w sont des fonctions de x, j", 5, on a, en faisant croître

d'abord x^y^ z de dx, dy, dz, les projections de PiP',

puis, en faisant croître x^ y, z de dx' , dy' , dz', les projections de

, , ' '^u\ , , au , , àu , ,

dz, = dx -+- — — dj -+- [ \^- — ^— dz .

^ Ox dy -^ \, dz J

On en conclut

[ r/.si ds\ cos 6i — ( : -4- 2 CI ) «r/ar cTa;' ~\- ( \ -^ 2 So j <j(>' û?x' (18) •' -^ {i — ïz^jdzdz ~'ix{dy dz'-^dz dy')

où £(, £0, £3, "1, Yo, Y3 sont les coefficients caractéristiques de la déformation, définis parles formules (i4)- O" peut écrire cette formule d'une façon un peu plus simple en introduisant la forme quadratique

^(\, Y, Z) -. f 1 -^ 2£,)X2-^ (i+ 2£2)Y2-^ ( I^ 2£3jZ2

-^ayiYZ-f- 2Y2ZX-i- 2Y3XY,

qui forme le premier membre de l'équation de l'ellipsoïde des dilatations au point P. Si alors on appelle a, ,3, v et a', [i', y' les cosinus directeurs des deux éléments ds et ds' ^

dx , dx'

ds ' ds'

on a

,' dsi ds'i cosO, ,'

«s ds " ' '

(.9) 1 -...-4-Y,(pY'-7?').^...