CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL
oi8. Attraction de plusieurs points isolés sur un point. Potentiel. — Soient n points fixes de masses //z,, wzo, . . ., m«, et un point mobile P de masse a situé aux distances r,, /'o, . . . , /•„ des points fixes. Les valeurs algébriques F,, Fo, ..., F,/ des attractions de ces points sur le point P sont
la résultante F de ces attractions dérive d'une fonction de forces que l'on obtient immédiatement comme il suit {voyez Tome I, Ghap. IV). Imprimons au point P un déplacement infiniment petit PP'; le travail de la résultante F est égal à la somme des travaux élémentaires des composantes qui sont F) fZ/'i, FaC^/'o, • . ., ¥,idr,i : il a donc pour expression
f\i.mi f\>-mi , . fv-rn,idrn
uirni . I V-''
-^—— di\ — '-!-^ r\ ri
dr.
Or cette expression est la différentielle totale de la fonction
En posant
on voit que la résultante F dérive de la fonction de forces
Si l'on appelle x^y, z les coordonnées du point P, U est une fonction de x, y, z, et il serait aisé de vérifier que les projections de F sur les axes peuvent s'écrire
•^ ' Ox ày -^ ' dz
Il suffit donc de connaître la fonction U pour en déduire l'attraction des points donnés sur le point P. Cette proposition est due à Lagrange.
En particulier, l'attraction résultante K des points donnés sur un point de masse i placé au point P a pour composantes suivant
dx "^ dy' "^ à
, j.d\] j,d\] j.d\J r^ p Tjr I r
les axes,/ -p ' / -yr ' / -tt • '-■elte lorce K est normale aux siirraces
U = const.
appelées surfaces de niveau ou surfaces équipotentielles : elle est dirigée par rapport à chacune de ces surfaces du côté où U
croit et a pour intensité/ -y- > ~r- désignant la denvee de u suivant
la normale à la surface de niveau.
La composante de l'attraction K suivant une demi-droite quelconque PD est égale à la dérivée de/U suivant la direction PD,
KD=/I'm ppT—
quand PP' tend vers zéro (Tome I, Chapitre TV).
Nous appellerons le point P où l'on prend la valeur du potentiel, le point attiré ou le point potentié ; cette dernière expression est employée par M. Boussinesq dans ses Compléments de Calcul intégral.
549. Champ de forces; lignes de forces; tubes de forces. — L'ensemhle des forces K qui agissent sur un point de masse i occupant successivement diverses positions de l'espace s'appelle un champ de forces. En chaque point P du champ, la force K est déterminée : la direction et l'intensité delà force R en P s'appellent direction et intensité du champ au point P. Sur un point de masse [x placé en P agit une force F^jxK. On dit que le champ est uniforme quand les forces qui le constituent sont égales et parallèles. Par exemple, dans une petite étendue, la pesanteur donne naissance à un champ uniforme.
On appelle, d'après Faraday, lignes de forces, des lignes telles que leur tangente en chacun de leurs points coïncide avec la force K du champ à ce point. Ces lignes sont les trajectoires orthogonales des surfaces de niveau. Par chaque point du champ, en dehors des centres attractifs, il en passe une, et une seule. Par exemple, dans un champ uniforme, les lignes de forces sont des droites parallèles; dans un champ provenant de l'attraction d'un seul point m,, toutes les forces sont dirigées vers ce point et les lignes de forces sont des droites concourant en /?? , .
