CHAPITRE XXXII. — DÉFORIIATIOX d'uN MILIEU CONTINU. a.'p
La connaissance de l'ellipsoïde des dilatations en un point 1' entraîne donc, d'une manière simple, la connaissance des dilatations angulaires autour de ce point.
En particulier, pour que V angle 9( soit droil, il faut et il suffit qu^ avant la déformation on ait
c'est-à-dire que les deux directions PP' et PQ' soient conjuguées par rapport à l'ellipsoïde des dilatations au point P :
On en conclut qu'iY existe trois éléments linéaires issus de V qui forment un trièdre trirectangle avant et après la déforn\ation ; ce sont les éléments dirigés primitivement suivant les axes de l'ellipsoïde des dilatations au point P.
Les directions de ces axes sont les directions principales au point P.
Signification particulière des coefficients y,, yo, Y3 : dilatations des faces du trièdre primitivement parallèle aux axes. Ces considérations conduisent à l'interprétation géométrique suivante des coefficients yi^ Yl'i y.3- Soit, au point P, un angle P'PQ' dont les côtés infiniment petits PP'= ds et PQ'r= ds' sont respectivement parallèles à Oy et O^ : alors
p=zi. Y=o,
Api'ès la déformation ces deux éléments deviennent P, P', = â?5j, P, Q', := ds\ , leurs variations de longueur sont données par les formules
leur angle a, =P, PiQ', est donné par la formule (19) où a, p, y, a', fi', y' prennent les valeurs particulières (20), et où l'on remplace 9, par a, : on a donc
rls^ ds\ co? 7-1
d'où
(21) Yl= \/l-- -422 v/l-^ 2£3C0SXi,
relation qui définit géométriquement v,.
On a, de même, ^(2 et y.î en chaque point P.
670. Dilatations principales, — On appelle dilatations principales, en un point P du milieu primitif, les coefficients de dilatation A,, Ao,, A3 des trois éléments linéaires issus de P dirigés primitivement suivant les axes de l'ellipsoïde des dilatations en P. Appelons A, B, G les trois sommets de cet ellipsoïde: le coefficient de dilatation de l'élément diriofé suivant PA est
on a de même, pour les éléments dirigés suivant PB et PC, les coefficients de dilatation
Pour calculer A,, Ao A3, on est donc ramené à calculer les axes PA, PB, PC de 1 ellipsoïde (17). Pour cela, on forme l'équation en S relative à cet ellipsoïde
Ti
Ti
Les racines S,, So, S3 de cette équation sont les carrés des inverses des longueurs des axes pTT' pRi' p?^* ^^ ^ donc
Ai=/S,— t, A2=:v/S2— I, A3=/S3 — I.
671. Invariants. — Quand on fait un changement d'axes de coordonnées rectangulaires, l'équation de l'ellipsoïde des dilatations (17) change; les six coefficients £,■ et y/ prennent de nouvelles valeurs qui se déduiraient des premières par les formules classiques du changement d'orientation des axes. Mais on sait que, dans une quadrique
AX2 -^ A' Y2 -F A"Z2 -i- 2 BYZ -r- 2 B'ZX ^- 2 B'XY = H,
