CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION d'lN MILIEU C O N Tl M

lions ti et V,- des coordonnées x,y, z du point P dans le milieu non déformé cfl. Envisageons une portion du milieu non déformé entourant un point P : si cette portion est suffisamment petite, les six fonctions £/ eiY/, qui sont des fonctions continues dex,j, -■, conserveront, en ses différents points, sensiblement les mêmes valeurs, celles qu'elles ont au point P. Comme une déformation homogène est caractérisée par ce fait que les six fondions t^ et y/ sont constantes, on peut donc dire qu'une portion suffisamment petite de matière entourant un point P du milieu primitif subit une déformation homogène dont les six composantes sont les valeurs que prennent^ au point P, les six fonctions zi et y,- caractéristiques de ta déformation considérée. Cette déformation homogène, qui coïncide avec la déformation considérée dans une région très petite entourant P, est appelée déformation au point P, ou déformation homogène tangente à la proposée au point P.

Si donc on imagine une portion de matière très petite [m) entourant le point P et la portion correspondante (m,) entourant le point correspondant P,, la déformation homogène tangente en P transforme {m) en (m,) : il en résulte qu'on peut faire coïncider [m) avec (/?z,) par une translation, suivie d'une rotation, suivie d'une déformation pure. La translation amène P en P,, la rotation amène les trois éléments linéaires ds^ ds\ds", dirigés suivant les axes PXYZ de l'ellipsoïde des dilatations en P, à coïncider en direction avec les trois éléments transformés c/5, , ds\ ds] dirigés suivant trois axes rectangulaires P,X, YiZ, ; enfin la déformation pure achève d'amener (m) sur (m, ) par trois dilatations rectangulaires suivant les axes P,X,Y,Z,, dilatations choisies de telle façon que les éléments ds.ds', ds" deviennent c/5,, ds\ , ds'[ .

Cette rotation et cette déformation pure sont bien définies en chaque point P du milieu primitif : on les appelle rotation au point P et déformation pure au point P.

681 . Définition analytique de la déformation homogène tangente en un point. — Prenons dans le milieu primitif, avant la déformation, un point quelconque P de coordonnées x, y, z et imaginons une portion infiniment petite de matière {?n) entourant

aj8 ÉQUILIBRt: ET MOLVEMICXT D K S M I I. [ i: L \ CONTINUS.

ce point. Soient x— dx^y — cl}\, z -r dz les coordonnées d'un point P' de celte portion de matière ijn). La déformation fait correspondre au point P tin point P, de coordonnées

et au point P' un point P', infiniment voisin de P, avant pour coordonnées

x^ — dxx^^ X -^ M. -r- dix -^ ^XK ....

c'est-à-dire

dvi , au ^ du , ;r -r- u — «.r ax - — r~ av dz.

iJ.r dy " Oz

, ()v , àv , dv ,

( P , i ' J' — V — dv — -r- dx — —- fly — -— dz,

' -^ -^ dx '^y '^''

, dsv , dw , Ow ,

dz -; dx dy -, dz .

ôx Oy -^ dz

Portons l'origine au point V[x,y^z) et prenons comme nouveaux axes des parallèles P;r', Vy\Vz' aux anciens. - Appelions x',y',z' el x\,'}\, z\ les coordonnées des points P' et P', par rapport à ces axes; on aura

(P' ) x' = d.r, y' = dy, z' = dz

et, par suite,

t*u\ , du. , du ,

' dxj ()y d

(Pi) (34) '^i=^^-^--(/"d[^j^-^---

f , dw , d-w , I d-w\ ,

' dx dy -^ \ dz /

Ces dernières formules donnant les coordonnées du point P', en foBction de celles du point P' définissent la déformation de la région (m) entourant? en une autre région infiniment jietite (/?«(i entourant Pf. Gomme elles sont linéaires en x',j-\ z' , elles définissent une déformation homogène; c'est la déformation homogène tangente au point P à la déformation proposée. En identifiant avec les formules (aS) on voit qu'il faut faire

du dn du

an=^, a„:=^^, On= ^^ ■■■■