V -- fiiz ) — 02(a

L'équalion

df àz donne alors

.Mais y et :; étant indépendants, cette relation ne peut avoir lieu que si

pt désignant une constante. On a de même

en intégrant et portant les expressions trouvées pour f^iy^. cp, (:;), ... dans u, V, W, on a

u = ai-+- piZ - IH}',

V == (H—pzX—piZ,

W =:: a^— P\y—PlX,

«1, rto, rt;} étant des constantes d'intégration. Ces foi^mules définissent un déplacement d'ensemble infiniment petit d'un solide invariable : translation (r/, , «25^3) et rotation élémentaire (/>,, />-2, fs)-

689. Déformation à la fois longitudinale et transversale. — Pour qu'une déformation infiniment petite soit pure (ou longitudinale) en tous ses points, il faut et il suffit que la rotation soit

CHAPITRK \X\II. — DÉFORMATION d'lN MILIEU CONTINU. 267

nulle en chaque point, on encore que les vecteurs u, V, W dérivent d'une fonction F

dF dF dF

^ ^ dx dy dz

Pour qu'en même temps la dilatation cubique B soit nulle en chaque point (déformation transversale^ il faut et il suffit que

dvi ÔM- dw __ dx ' dy dz

Remplaçant u, V, W par leurs expressions, on voit qu'il faut et suffit que F(^, r, z-) vérifie l'équation de Laplace

dx- dy'' dz-

Cette circonstance ne peut pas se présenter pour un milieu limité par une surface S, si on suppose la rîéformation nulle à la surface : car la fonction harmonique F étant finie ainsi que ses dérivées premières et secondes dans l'intérieur de S et les dé-

. , dF dF dF . 1, , ,. dF 1 ,

nvees ~r-' -r- > -r- étant nulles sur la surtace, -— est nul sur la surdx dy dz an

face et F constant dans l'intérieur (n" 094). Le déplacement (Sp)

d'un point quelconque du milieu est alors nul.

EXERCICES

1. Equations aux dérivées partielles auxquelles satisfont les six fonctions £,- et Y; dans le cas d'une déformation infiniment petite. — Il s'agil d'éliminer les trois fonctions u, v, (v entre les six équations (35) du n" 684.

Solution. — En introduisant comme fonctions auxiliaires les composantes p^. p^. Pi de la rotation au point P, on a

au dv i dw I du i