CHAPITRE XXXIII. — CINKM.VTIQLE DES MILIEUX CONTINUS, iy'i
se trouve, à l'instant t^ dans !a position dm sur cette trajectoire : un autre élément partira de même d'une autre position initiale, suivra une autre trajectoire et se trouvera à l'instant t dans une certaine position sur cette trajectoire. De cette façon, si l'on considère l'ensemble des éléments (V/m o du milieu à l'instant ^ = o, ils occupent une certaine région continue A^ de l'espace : ces éléments se mettent en mouvement d'une manière continue et, à 1 instant t^ ils occupent des positions dm situées dans une certaine région continue Jl.
Les coordonnées .r, y^ z de chaque élément dm à l'instant l sont des fonctions uniformes et continues de ses coordonnées initiales «, 6, c el du temps t :
lonctioiis cjui se réduisent respectivement à a,b, c pour t=:o.
Les variables indépendantes choisies par Lagrange sont les quatre quantités a, b,c, t.
On voit que, par le fait même du mouvement d'un milieu continu et en particulier d'un fluide, se trouve réalisée la déformation continue d'une certaine région continue Jl„ de l'espace occupée par le fluide à l'instant initial en une autre région A occupée par le fluide à l'instant t. Cette déformation rentre dans celles qui ont été étudiées en détail dans le Cbapilre précédent, et l'on pourra lui appliquer tout ce que nous avons dit dans ce Chapitre.
Par exemple si de l'eau, primitivement en équilibre dans un réservoir, se met en mouvement à l'instant ^ =: o par suite de l'ouverture d'un robinet, la région JIq sera constituée par la partie du réservoir occupée primitivement par l'eau, et la région ai. par la partie de l'espace où se trouve l'eau au temps t. Dans cet exemple le milieu continu part du repos : c'est là une circonstance particulière.
En général, à l'instant t = o, les éléments fluides occupent une certaine région Aq et possèdent des vitesses initiales déterminées : on peut d'ailleurs considérer comme instant initial un instant quelconque du mouvement.
61>l2. Vitesse d'un élément. — Soient W la vitesse d'un élément dm de coordonnées x,y, z à l'instant f, «, ç, w les projections de JH. ,8
celte \itesse sur les axes : d'après les formules (i) qui permettent de suivre chaque élément dans son mouvement, on a évidemment
dx
lu'
dy
dz
dt'
les dérivées étant prises en regardant a, b, c comme constants, c'est-à-dire en suivant l'élément dans son mouvement.
693. Accélération d'un élément. — Les projections de l'accélération J du même élément sont
du d^x
dv d'^v ^'~ dt - dt''
dt ~ dt' '
dw
^~ 'dt
694. Équation de continuité. — Appelons po la densité de l'élément {dm), de coordonnées a, h, c à l'instant initial ^ = o, et p la densité du même élément d?7i de coordonnées œ, y. z à l'instant t. ■En écrivant que la masse de cet élément ne change pas, on obtient comme dans le Chapitre précédent l'équation de continuité (n" 664). 11 suffit pour appliquer cette équation au cas actuel d'y remplacer x^y, z par «, 6, c el x,, yt, S) par x, y, z. On a ainsi, en posant
dx
dx
dx
da
dh
Te
dy Oa
db
dy de
dz
da
db
de
l'équation de continuité
Po-
