CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

la vitesse W est bien définie en chaque point P (^,jj^, ;j; ses projections M, V, w sont donc des fonctions uniformes de x, y, z.

Inversement quand a:,y,z sont donnés, c'est-à-dire quand on fixe son attention sur un point géométrique donné P, à chaque instant t il passe par ce point un nouvel élément matériel qui possède une vitesse W, variable avec t] les projections u, ç, w du vecteur W sont donc aussi des fonctions de t. En définitive, u^ v', w sont des fonctions des quatre variables indépendantes x, j', z, t. Ces quatre variables sont les variables indépendantes choisies par Euler.

Si l'on connaissait u, v, w^ en fonction des quatre variables indépendantes oc^y, z, t, on connaîtrait, à chaque instant, la distribution des vitesses aux divers points de la masse continue en mouvement.

696. Projections de l'accélération d'un élément. — Nous obtiendrons ces projections en nous reportant à la définition même de l'accélération d'un point mobile.

Pour mettre les variables en évidence nous représenterons par

(6) u= u{x,y,z,i), i> = i(x,y,z.,t), tv = iv(x,y, z, ( )

les projections sur les axes de la vitesse W de l'élément dm qui, à l'instant t, passe au point géométrique V^x, y, z). Suivons cet élément dans son mouvement.

A l'instant i, = ^ -j- dt, il s'est avancé sur sa trajectoire d'une longueur W dt et est arrivé dans une position P( de coordonnées

Xi=T-^udt, yi=:j — V dt, Z\=z-^wdt.

D'après les formules générales (6), la vitesse (W,) que possède le même élément dans sa nouvelle position à l'instant ^) a pour projections

ou encore

Ui= u{x -:- u dt, y ^ V dt^ z -r- w dt, t - dt ), Vi= V (X -f- u dt,y ^- V dt, z -^ tv dt, t — dt }. w^ = w(x-+- udt,y -T- V dt, z -h iv dt, t -^ dt ).

Les projections de l'accélération de l'élémenl dm sont alors

^^ dt ' dt ' dt '

Or u^— u est la différentielle de ii{.r, y^ z, 1 1 quand x,y, z t croissent respectivement de u clt^ v dt^ wdt^ dt :

du , du , du , au , iti — u — —udt-, — — V dt-^ — w dt ~ — r- dt; ox oy ôz dt

on a de même p, — v% (V) — (v, et les projections de l'accélération

sont

i, du du du du

dx dy OZ dt

, dv dv dv dv

'' ' ■' dx dy dz dt

^ dw àw dw dw

Jz = -r- U -\- -r— V 7— W H r- •

OX dy dz dt

697. Autre méthode : dérivée prise par rapport au temps en suivant un élément dans son mouvement. — On peut présenter le calcul précédent d'une autre manière. Suivons un élément le long de sa trajectoire; les coordonnées x^y^z de cet élément deviennent des fonctions déterminées du temps

-, , 1 / • r dx dy dz , , • , ,

dont Jes dérivées -77' ;^ ' "jT P^^ rapport a t sont précisément Jes

projections a, f, iv de la vitesse de l'élément considéré. Or ces projections sont, par hypothèse, données en fonction du temps par les formules (6)

où A*, y, z seraient remplacés par les fonctions J [t ). J\ [t), /•>{() '■

dès lors, la projection de l'accélération de l'élément sur l'axe

des X est

du du dx du dy du dz du

c'est-à-dire

"^ dt dx dt ' dy dt dz dt ^ dt

. du du Ou du

Jj-= ^ u r-V~ — tV-^ ^'

dx dy dz dt