CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

On retrouve ainsi les expressions J^;, Jj, Jz données plus haut.

On peut résumer ce qui précède en disant que J^. est la dérivée de u prise par rapport au temps en suivant un élément matériel dans son mouvement.

Nous emploierons cette locution dans les cas analogues. Ainsi, étant donnée une fonction cp(.r, j)^, .s, /) des variables d'Euler, on pourra en prendre la dérivée par rapport à i en regardant x, y, z comme constants; nous désignerons cette dérivée partielle

par -j-- Mais on pourra aussi prendre la dérivée de 'j par rapport

au temps en y regardant x^ y, z comme les coordonnées d'un élément matériel dm suivi dans son mouvement, c'est-à-dire comme certaines fonctions du temps. Ce nouveau genre de dérivée que

nous désignerons par -r^ a pour expression

c'est-à-dire

c?cp do dx do dy do dz à^ dt "~ Ot dt dy dt dz dt dt

do do do Oo do

dt <jx dy dz dt

698. Résumé des notations pour les dérivées. — Dans les équations figurent, comme nous venons de le voir, deux espèces de dérivées par rapport au temps. Si une fonction o est exprimée en X, y^ 2, t^ la dérivée partielle prise par rapport à f en regardant X, y, z comme constants sera désignée par -ji avec un d de

ronde; si au contraire on considère x^ y, z comme les coordonnées d'un élément fluide, cp devient une fonction du temps par l'intermédiaire de x, j', z et la dérivée de cp par rapport au temps, prise en suivant la molécule dans son mouvement sera

désignée par -^^ • Ce second genre de dérivées par rapport au

temps est celui qu'on prend dans le système de Lagrange en considérant a, 6, c comme constants : en effet, les coordonnées d'un élément fluide sont données en fonction de t par les formules (i), où a, b, c sont des constantes : si donc on veut prendre la dérivée de cp par rapport à t en suivant l'élément, il faut regarder ce comme une fonction de a, 6, c, t par l'intermédiaire de x, y, z ei

prendre la dérivée par rapport à ? en regardant a, 6, c comme constants.

699. Équation de continuité. — A l'instant t, les divers points du milieu en mouvement occupent des positions V[x^y,z) : à l'instant t -^ dt chaque point s'est avancé dans le sens de sa vitesse W d'une longueur égale à W dt : les coordonnées a;, , y, , 5 , de la nouvelle position du point qui était en x^ y, z sont donc

(8) Xi==X-^udt, yi=y-^vdt, jZi= Z -h udt.

Ces formules montrent que dans l'espace de temps dt, le milieu a subi une déformation infiniment petite (n°683) dont les composantes suivant les axes sont

u = M dt, V = r dt, 'W = w dt.

Le coefficient de dilatation cubique dans cette déformation infiniment petite a pour valeur en chaque point ( n'^ 683 )

du. dv dx Oy

"ôz

1 fàu

dw 'àz

Gela posé, considérons autour d'un point P{x, y, z) un élément matériel infiniment petit dmàe volume t : la masse de cet élément est OT, p étant la densité en P, densité qui est fonction de x,y, z, t.

La masse de cet élément étant invariable, sa différentielle pendant le temps dt prise en suivant Vêlement dans son mouvement est nulle. On a ainsi, en annulant la différentielle du produit pT :

-r "z dt -T- 0 dz = o :

dt '

mais — est le coefficient de dilatation cubique 9 au point P : la relation ci-dessus devient donc

da l' du àv dw'\

c'est là l'équation de continuité dans laquelle -— désigne la déri-