CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

vée de p prise en suivant un élément fluide dans son mouvement

(n" 697), de sorte que, en explicitant, on a

dp âz

dt dx dy

Remplaçant -r^ par cette expression dans (lo), on peut écrire cette équation sous une autre forme

0{ p u ) dipv) 0( piv >

d p dt

Cas d'un liquide incompressible — Dans le cas d'un liquide incompressible à température constante, p est constant et l'équation de continuité s'écrit

d^ dy

d(v dz

elle exprime que le coefficient de dilatation cubique est nul en chacjue point à chaque instant.

700. Flux de matière à travers une portion de surface S pendant le temps dt. — Traçons dans le milieu une surface géométrique Jîxe S, non matérielle, et cherchons quelle est la masse de matière qui traverse cette surface de l'instant t à l'instant t H- dt dans un sens déterminé. Soient P un point quelconque de la surface, PN la normale menée à la surface en ce point dans le sens considéré et a, [3, y les cosinus directeurs de cette normale ( /ig. 3^.6). Pre-

Fig. 3-26.

nous un élément superficiel infiniment petit dv entourant P : appelons W la vitesse de l'élément matériel qui se trouve à l'instant t

28o ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

en P, Wrt sa projection sur la normale PjN :

(l3) Wn=OLU^^V-^ yw.

Au bout du temps dt, les éléments matériels placés à l'instanl / sur c^T se sont avancés de W r/^ dans la direction W, de sorte que le volume de la matière qui, pendant le temps dt, a traversé l'élément de est un cylindre oblique de base de et d'arête latérale W dt : la hauteur de ce cjlindre est W« c?< et son volume d<j^\,i dl. La masse qui a traversé de pendant le temps dl

est donc

p W„ rfj dt.

Quand ^n est positif, celte expression est positive ( cas de la fig. 826); si Wrt était négatif, cette expression serait négative, mais alors la matière aurait traversé l'élément de dans le sens opposé à celui qui a été choisi. On peut donc dire que pA\ „<:/3- dt est la valeur algébrique de la masse qui a traversé l'élément de dans le sens PN. En appliquant ces considérations à chaque élément «iode la surface S, on volt que la valeur algébrique c/M de la masse totale qui traverse S pendant le temps dt dans le sens positif choisi est

^M = dt ( f p W„ dl,

J du.

l'intégrale étant étendue à la surface S. Cette formule donne ce qu'on appelle \e flux de matière à traversS pendant le temps dt, dans le sens PN. Remplaçant W„ par son expression (i3) y.u -h Sc-T-^'fï', on a

( i4 j dW = fil j l oioLU — ^v +- Y w ) ch.

11 est évident que le flux à travers la même surface, pendant le même temps dt, dans le sens contraire ou sens négatif, est égal et de signe contraire : 11 est donc

d/ I I p( 'jin — p f ^ Y (r I dl.

Application. — On peut déduire de là une autre démonstration de l'équation de continuité. Considérons dans le milieu en

CIIAPITRK XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS. 28 1

mouvement une surface géométrique fermée fixe S et soient PN la normale extérieure à cette surface, a, [i, y les cosinus direc leurs de cette normale. Nous allons évaluer de deux façons différenles l'accroissement algébrique â?M que subit pendant le temps dt la masse totale de matière M contenue dans la surface S. Une première expression de cet accroissement est précisément le flux de matière à travers la surface S, de l'extérieur vers l'intérieur, c'est-à-dire dans le sens opposé à PN. On a donc

— dl \ I p((xu ~ '^i> ^ Y »■ ) d'y.

D'autre pari, si l'on appelle V le volume limité par la surface S (;t d-z un élément de ce volume, la masse totale contenue dans S

à 1 instant t est

-^ffX^--

l'intégrale étant étendue au volume V. Cette masse M varie avec l parce que, en chaque point déterminé x^v^z, p est une fonction

de t : pendant le temps f//, p subit l'accroissement -rj<r/^, on a

donc pour M l'accroissement

dM^dtfff^-ld^.

Égalant ces deux expressions de dM et supprimant le facteur d/, on a l'équation

/ / / j- of-û -t- / / ( ap u -r- Pp (' ^ Yp "' ) ^^^ = o.

L'intégrale double se transforme par la formule de Greeu (n''534)

Après cette transformation, on a, en réunissant les deux termes sous un même signe d'intégration,

rr çyo^ ôjju)^ éi^ ôj^i ^^

J J . 'v L ^' ^^ ày Oz J

•'.8'2 ÉQUILIBRE ET .M O U V E M K N ï DES MILIEUX CONTINUS.

Celle intégrale est étendue au volume V limité par la surface S tracée arbitrairement clans le fluide : elle doit être nulle quel que soit ce volume, ce qui exige que l'élément placé sous le signe d'intégration soit identiquement nul : on a ainsi l'équation de conhnuité sous la forme

dp à(pu) àipv) dt ' dx

701 . Comparaison des deux équations de continuité — L'équation de continuité dans la méthode de Lagrange est

D étant le déterminant considéré au n" 694. Dans cette équation p, x^y^ z sont considérés comme fonctions de «, b^c^t : po est indépendant de t. L'équation exprime donc que pD est indépendant de t\ on pourrait exprimer ce fait en écrivant que la dérivée de pD par rapport à t est nulle. La nouvelle équation que Ton obtiendrait ainsi est précisément l'équation de continuité dans le système des variables d'Euler, En effet, soit dm un élément matériel qui, à l'instant initial ^ =: o, a pour volume To et pour densité po; ce même élément, à l'instant t^ possède un volume -. et une densité o, et l'on a

pT — po'^o;

en comparant avec l'équation de continuité de Lagrange, on voit que

par conséquent, si l'on égale à zéro la dérivée de pD par rapport au temps, on obtient la même équation qu'en égalant à zéro la dérivée de px; or c'est précisément ce que nous avons fait pkis haui pour obtenir l'équation de continuité d'Euler ( n*' 699 i.

702. Passage d'un des systèmes de variables à l'autre. — Si. dans le mouvement d'un milieu continu, on connaît les coordonnées d'un élément quelconque à l'instant t en fonction de ses

CtlAPITRE XXXIU. — CI.NKM.VTIQUE DES MILIEUX CONTINUS. 283

coordonnées initiales a, b^ c et du temj)s : lx = f (a, b,c, t),

( -2 " fii/i, b, c, t),

il est facile d'en déduire les expressions de u, c, w en fonction de X, y, z et t. Pour cela, on écrira

1 "= ft(<^,b, c, t).

les seconds membres désignant les dérivées de f, /",, f-2 par rapportât. En tirant «, 6, c des équations (i) pour les porter dans les expressions (2), on aura w, r, w en fonction de x^ y, ,^, t.

Pour passer inversement des variables d'EuIer à celles de Lagrange, il faut intégrer un système d'équations différentielles du premier ordre, de façon à déterminer les trajectoires.

Trajectoires des éléments matériels dans le système d' Euler. — Supposons que l'on connaisse, dans le mouvement d'un fluide, //, f, w en fonction de x, y, :•, t, fonctions que nous appellerons u(x,y,z, t), .... Proposons-nous de trouver les trajectoires des divers éléments matériels du milieu continu. Le long d'une trajectoire, les coordonnées x, y, z d'un élément dm suivi dans son

.1 r . • 1 1 1 1 ' • ' dx! dy dz

mouvement sont des tonctions de t^ dont les dérivées -i-- -f-, -7-

' dt dt dt

sont les projections «^, c, w de la vitesse de l'élément; on a donc

les équations :

—r=ii (se, r, z, f).

dz di

IV I X, y,

Ces équations sont trois équations différentielles du premieiordre définissant x, y, z en fonction du temps et de trois constantes arbitraires qui seront, pour fixer les idées, les valeurs a,

b^ c de x^ y, z pour / =^ o. On aura ainsi, par linlégralion de ces équations :

el l'on sera revenu aux variables de Lagrange.

703. Lignes de courant ou de flux à un instant. — Adoptons les variables d'Euler. A linslant t, l'élément djn qui passe au point V[x,y,z\ a une vitesse W dont les projections u^ c, <v sont fonctions de x., y, z, t. L'ensemble de ces vitesses au temps t forme ainsi un champ de vecteurs.

On appelle lignes de courant ou lignes de flux à V instant t les lignes de vecteurs de ce champ, c'est-à-dire les lignes telles que la tangente en chacun de leur point P soit le vecteur correspondant W.

Ces lignes ont pour équations différentielles les équations

* . dx dy dz

dans lesquelles t a une valeur numérique correspondant à Vinstant considéré. L'intégration de ces équations donne un système de courbes dont les équations sous forme finie

4» ('a-, y, ^, ^ I = G, <l>i( a?, j', ^, / I = Cl,

contiennent deux constantes arbitraires C et C) et la lettre t qui est supposée avoir une valeur déterminée. Ces lignes varient avec l'instant considéré t.

Les lignes de courant sont distinctes des trajectoires. — En effet, les trajectoires sont définies par les équations différentielles f 16), où t est variable, tandis que les lignes de courant à un instant t sont définies par les équations (171 où t a une valeur numérique déterminée.

Ainsi, pour prendre un exemple tout à fait élémentaire, imaginons un co/'/)5 solide en mouvement. C'est là un milieu continu en mouvement; seulement ce mouvement a lieu sans déformation. Les trajectoires sont les courbes suivies par les divers points matériels du corps, courbes qui peuvent être de natures très