CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS. 2S
vecleiirs tourbillons 0 forment au même instant un nouveau champ de vecteurs que nous avons déjà considéré d'une manière générale dans le premier chapitre de ce Volume.
Voici la raison de cette dénomination de rotation moyenne ou tourbillon donnée au vecteur ù.
Considérons la déformation infiniment petite par laquelle on passe, des positions des points du milieu à l'instant f, aux positions des mêmes points à l'instant ^, = f -j- dt. Si x,y, z sont les coordonnées d'un point du milieu placé en Pà l'instant t, ce même point matériel à l'instant ti-^ t-\-dt occupe une position infiniment voisine P) de coordonnées
a"| = a; - itdt ^ Ji =7-T- vdt, Zi = z -i~ w dt .
Ces formules définissent une déformation infiniment petite (hi système des points P dans le système des points P, : les fonctions U. V, W définissant celte déformation (n" 683) sont ici
(20) u — udt, V — vdt, w — wdf.
D'après ce que nous avons vu dans l'étude d'une déformation infiniment petite, si l'on prend un élément fluide dm entourant le point P à l'instant t, cet élément, à l'instant t^==^ t -{- dt, prend une nouvelle forme et une nouvelle position dm\ entourant P,, et l'on peut passer de dm à dm^, en faisant subir à dm :
1° Une translation PPj ;
:>." Une rotation élémentaire effectuée autour d'un axe Pto issu de P et obtenue en faisant tourner l'élément des angles infiniment petits
1 / dw dv , ^ ^ / du f)Mv i />)\- i>u ,
^''""aV"^""^/ ^'""âV^ ■'^/' ^^^ ~i\d^~ àJ-J
autour des parallèles aux axes issues de P;
3" Une déformation pure, composée de trois dilatations rectangulaires suivant les trois directions principales en P,
Dans le cas actuel, d'après les valeurs >, 20 , de u, v, w, les
angles élémentaires de rotation/?,, p^- p.i sont
I / i)u Ow \ , ('il) ' /?, ^ - — dt^
p.— - { ] dt .
Comme ces diverses transformations, dont est composée la transformation totale, se font dans le temps dt^ on peut dire que l'élément dm possède à l'instant t :
1° Une vitesse de translation égale à la grandeur PP, de la translation divisée par dt^ c'esl-à-dire à W( ?/, v^ W) ;
2° Une vitesse angulaire de rotation PO dont les composantes suivant les axes sont les angles élémentaires de rotation /?, , P-2iPz divisés par dl^ c'est-à-dire, d'après (21), les quantités
I / dw i)v'\ 1 I <)iL ()w' I l dv du\
•I \ ôy ~~ dzj ' 1 ' JJ " dx '' ô. \'ôx ~~ 'ôj' J
ou encore ç, y,, C ;
3° Une vitesse de déformation caractérisée par trois vitesses de dilatation rectangulaires dirigées suivant les directions principale^ en P, et égales aux quotients des coefficients de dilatation principaux par dt-. nous ne calculerons pas actuellement ces dernières vitesses. 1 [ oir aux Exercices. <
Ces considérations justifient les noms de rotation moyenne au point P à rinstatit t ou de vecteur tourbillon en P donnés au vecteur PO de projections ç, r,, "Ç.
On peut remarquer, avec M. Boussinesq, que la rotation PQ est la rotation instantanée du tricdre trirectangle fluide formé par les directions principales en P; cela résulte de ce que la translation PP, et la rotation élémentaire de composantes/?,, p2, p-i ont pour effet d'amener les trois directions principales en P sur les trois directions principales en P, .
Nous appliquerons plus loin ces considérations au mouvement des fluides. Prenons encore, comme exemple élémentaire, le cas d'un corps solide en mouvement. Alors, le vecteur tourbillon en
