CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS. PlSg
chaque point à V instant t est égal à la rotation instantanée du corps. Cela résulte de ce qu'un élément dm du corps à l'instant t peut être amené dans sa nouvelle position dm^ à l'instant t -\- dl par une trcwislation suivie d'une rotation égale à la rotation instantanée. Analvtiquement, les formules (18) qui donnent les projections sur les axes de la vitesse d'un point x^ y, z d'un corps solide montrent également que le vecteur tourbillon (ç, Tj, Ç) en chaque |)oint est égal à la rotation instantanée (/?, q^ /■). On a, en effet, d'après ces formules,
d^=^'^ Tz^-f'- ■■■■■
d où
on trouve de même
706. Définition mécanique du tourbillon en un point à un instant. — Soit un point P (^x^y,z) à l'instant t : considérons la portion de matière contenue dans une spbère infiniment petite s de centre P et supposons qu'à l'instant t toute la matière extérieure à cette S|)hère soit anéantie et la matière intérieure brus- ({uement solidifiée. Alors, la rotation instantanée initiale que prendra cette sphère solide sera précisément le tourbillon au point considéré. [Stokes, On the friction of flui/s in motion [Transactions of the Cambridge Phiiosophical Society, Vol. VIII).]
En eff'et, soient, avant la solidification, w, t^, w les projections de la vitesse du point matériel placé en P {x.y, z) et «', v\ w' celles de la vitesse d'un point infiniment voisin P' de coordonnées X -\- x' , y -\-y\ z -^ z' , les quantités infiniment petites 5:;', j'', z' ^ ('■tant les coordonnées de P' par rapport à des axes Po;', Pjk', P:;' menés par P parallèlement aux axes fixes. On aura
c'est-à-dire, en développant par la formule de Ta^lor et se bor- III. 19
du ,
u — ff H ■ X
Ox
du , du
âx
dv , dv -^ dyy ^ dz '
(V — IV -+- ^x OX
div , div
nant aux termes du premier ordre
Soient, d'autre part, immédiatement après la solidification, «,, f,, (V, les projections de la vitesse du centre P de la sphère solide 5, p, q, r les composantes de la rotation instantanée de cette sphère; les projections a',, i,', a', de la vitesse du point de cette sphère qui est en P' sont
( u\ = «1 -h gz' — ry',
(23) I t-'i —- l'i -+- fx —pz'.
i iv\ = n>, -^ py'—rj.r .
Au moment où la solidification a lieu, le milieu extérieur étant supprimé, des percussions se produisent entre les divers points matériels qui constituent la sphère. Mais ces percussions sont loules'inlérieures à la sphère.
Or on sait que, si un système matériel subit des percussions intérieures, la somme des projections des quantités de mouvement sur un axe cs( la même après et avant la percussion, ainsi que la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à un axe. Appliquons ces théorèmes à la sphère infiniment petite s en remarquant que cette sphère étant homogène et ayant pour densité la densité en P, on a, par raison de symétrie,
I'Lnix' = ^niy ^^ ^ />i z' =0, E nij' z' = I. m z' x = ^ m .r'y' — o, Sm.r'- =lù/ny- ='!:Lmz''- — MA-,
ces sommes étant étendues à tous les points matériels P' dimasse m qui forment la sphère, et M désignant la ma-se totale 'Lni de cette sphère.
D'abord, en écrivant que la somme des projections des quantités de mouvement sur Taxe des x est la même après et avant i.i
solidification, on a
lùmu'i = yini u',
