CHAPITRE XXXIII. — CINEMATIQUE DES .MILIEUX CONTINUS

OU

du ?/ 1 1 m -T- 7 S mz — . . . = uZm -{- -—S mx -\- . . . , ^ àx

c'est-à-dire, d'après (24),

On trouve de même

Vx = t', 1^1= w.

Ainsi la vitesse du point P, centre de la sphère, ne change pas.

Ecrivons ensuite que la somme des moments des quantités de monveinent reste la même par rapport à l'axe V x' \ nous aurons

I m{y' w\ — ^V, ) = Sm {y' w' — z v' ),

ou, d'après les expressions (av.) et (23),

ii'i Z my' — l'i '^inz' -^ p^m^y- + -'- ) — . . .

, dw ,, dv „ ,, = (i^ S my — V 1 mz -l- -— S my -1. mz --;-...;

en vertu des relations (24), celle équation se réduit à

d'où

on trouverait de même

dv dï'

[ f dw

ôv\

Oz j

I [du 'i-^Xdz-

div\ d^J

I [dv ''=-,[dx-

du'

La rotation instantanée de la s|)hère, immédiatement après la solidification, est donc égale au tourbillon au point P.

707. Lignes de tourbillon. — A un instant déterminé ^, les tourbillons ù forment un champ de vecteurs déterminé dans touie l'étendue du fluide en mouvement : on appelle lignes de toiwbillon à l'instant / les lignes de vecteurs de ce champ, c'està-dire les lignes telles que la langenle en chacun de leurs points coïncide avec le tourbillon en ce point.

Les équations difi'érentielles des lignes de tourbillon à l'instant t

sont donc

dx dy dz

où ç, r,, ^ sont les quantités (19), t aj^ant une valeur déterminée. L'intégration de ces équations donne les équations des lignes de tourbillon sous forme finie

W {x,y,z, t) = Cl, Wtix,y,z,t) = C,

avec deux constantes arbitraires d et C2. Ces équations contiennent la le'tre t, qui figure dans les équations différentielles (26), mais qui y est traitée comme une constante : quand on fait varier /, les lignes de tourbillon changent.

Par exemple, dans un corps solide en mouvement, les lignes de tourbillon à l'instant t sont les droites parallèles à l'axe instantané : cela résulte de ce que tous les vecteurs tourbillons sont parallèles à cet axe.

Lorsque le mouvement est permanent, u, v, w et, par suite, 4, r,, Ç sont indépendants du temps ; dans ce cas, les lignes de tourbillon ne varient pas avec t.

70S. Potentiel des vitesses ; mouvement irrotationnel ou non tourbillonnaire. — Portons notre attention sur une portion continue du milieu matériel en mouvement. A un instant ?, les vitesses W dt'S divers points de cette portion du milieu forment un chanq) continu de vecteurs : on dit qu'il existe à liiistanl t, pour celte portion du milieu, un yoo/e/îf/e/ des vitesses, ou une /onction des vitesses quand ce champ de vecteurs dérive d'une fonction. Analjliqiiement, il existe, à l'instant t, un potentiel des vitesses quand un a identiquement à cet instant

Oo d<ù d(p

OT oy dz

■j étant une fonction de x^y^ z pour tous les points considi-rés. (>elte |)i-«)priété est spéciale à un instant : il peut se faire qu'elle ait liiii à un instant t sans avoir lieu après ou avant. Pour que celle circouslance se présente à un instant /, il faut et il suffit