CHAPITRE \XXm. — CIN KMATIQUE 1) K S MILIEUX CONTINUS. Joi
posant/. -^^('^)V(^) +(-.-1
{tï-
i dF ^ i OF i dF
^ ^ h Oa ' h db ' h de
Exprimons inainlenanl que le vecteur o -— , o -7 , 8 ^- est noit ' da 00 de
mal à la surface : nous aurons, en désignant par "X un (acteur de
proporlionnalilé,
^ dx da
' dï> - ■ '
^ dx de '
ou
, àx >. OF da II da
, dx A dF '' db ^ Ji db'
. dx l àF de " h de
da
l± àF h da
.dv ''db
|ji àF ^ hdb'
0^ de
[X dF ^ h 'de
^ àz àa
V dF h da
^ dz " db
V dF ' h db'
. dz ""Ta
V dF ^ A de
On trouve, de même, en désignant par pi et v deux autres facteurs,
D'après cela, il suffirait en chacpie point de Sq de connaître les trois quantités X, [jl, v, ou le vecteur ayant pour projeclions )., a, V, pour connaître les variations des neuf dérivées partielles de .r, y, z par rapporta a, b, c.
Conditions cinéniatiques de compatibilité. — Les relations précédentes s'appliquent à un inslant déterminé /; si maintenant on admet que, t variant^ cette discontinuité se propage, en n'affectant jamais que les points d'une surface unique variable avec /, on obtiendia de nouvelles conditions.
Les valeurs x^ et Xo de x en deux points «, /^, c infiniment voisins l'un de l'autre, placés de part et d'autre de la surlace So, restent égales, par hypothèse, quand t varie; cela veut dire, analytiquement, que l'on a
pour toutes les valeurs de 6r, ^, c, t vérifiant la relation
3o4 ÉQUILIBRE ET MOtVEilENT DES MILIEUX CONTINUS.
Si donc on fait varier a, b, c, t de da, db. de, dt, ces accroissements étant assujettis à la seule condition de laisser la fonction F nulle,
OF „ c>F , dF , - —j- db -^ - «r/c -^ —- dt = o, 'J6 de d/
(in devra avoir aussi
rf 03" = o.
c" est-à-dire
d ox , -, - da -foa
d oj' „ d or , dox .
—-r- (ib ~. ^. — de H ;— dt = o.
db àc dt
ou
^ ûx -. dx .^ dx , 0 —7- db ^ 0 -— de -1^ 0 —r- dt = o. db ùc dt
Dans cette dernière équation, pour nous conformer aux conventions faites plus haut pour les dérivées partielles, nous dési-
dox s dx 11,-, -ni-» < ^
gnons par —.— ou o -7- la dérivée partielle de ox par rapport a t,
prise en regardant «, b, c comme constants.
Les deux lelations (8) et (9) devant être vérifiées par les mêmes valeurs^ de da, db, de, dt, les coefficients de ces quantités, dans les deux relations, doivent être pfoporlionnels. Il faudra donc joindre, aux conditions (7) déjà écrites, la suivante :
^ dx À dF
On peut appliquer le même raisonnement à j^ et ^, et l'on trouve à côté des conditions (7)' les deux suivantes :
dy
|x dF
. dz
V dF
dt
~~ Tl 01 '
'^ dt
~ 7i dt
Pour que ces nouvelles équations soient compatibles avec les précédentes, il faut que le vecteur 1, 'j., v précédemment défini et
le vecteur 0 -^ > ù -f , r, -r aient même direction. Ce dernier dt dt dt
vecteur représeiile la variation géométrique de la vitesse d'un élément quand on traverse la surface : en effet, les projections u, v,
, , . ,, ,, , dx dy dz ,
\v de la vitesse d un élément sont -, > -,-> -, : on a donc
dt dt dt
^ dx ^ ^ dy ^ ^ dz ^
