CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS. Sa

Remplaçant, dans ces identiles, — » -r-, — par leurs valeurs tirées de (lo), on aurait les quatre équations du mouvement sous la forme

(lO

àP

âb ~'

âP

d^x\ dx ~dt^ 1 da d-x\ dx ~cfF) db d'-x\ dx dt'- ) le

V dt^ J da \ dt^ J da

pD — po=o, où les variables indépendantes a, 6, c, t sont mises en évidence.

729. Cas où, la densité étant fonction de la pression, il existe en outre une fonction des forces. — Soit, comme dans le numéro précédent, p ^=f{p)^ mais supposons, en outre, que la force X, Y, Z rapportée à l'unité de masse dérive d'une fonction de forces U(.r, r, :■) ou, plus généralement, que X, Y, Z soient les dérivées partielles, par rapport à x, j-, z-, d'une fonction [J{x, j', z^ t) pouvant contenir le temps :

^ dU ., __d\] dV

dx Oy dz

les équations (lo) du mouvement peuvent alors être écrites sous une forme encore plus simple, si l'on introduit la fonction de

Elles deviennent, en effet,

d^x àQ d^ dQ d^z dQ

^'^-^ 'dt^~7^' 'dï^ " ly Tr- ~ 1^'

On peut interpréter ces équations en disant que, dans le cas considéré, il existe un potentiel des accélérations ou une fonction des accélérations.

En effet, les équations du mouvement expriment qu'à chaque instant «, dans toute l'étendue du fluide, les projections du vecteur

ào

328 ÉQUILIBRi; ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

accélération sont les dérivées partielles par rapport à ^, j', z d'une certaine fonction Q de a:, y. z, t.

730. Cas où il existe un potentiel des vitesses pour une partie de la masse fluide; théorème de Lagrange; démonstration de Cauchy. — A chaque instant t, les projections ?/, f, ir de la vitesse d'un élément fluide quelconque dm sont déterminées : ce sont donc des fonctions uniformes du temps t et des coordonnées x, y, z de l'élément à l'instant considéré. En supposant w, ç, (v exprimés de cetle façon, on emploie le système des variables d'Euler,

Comme nous l'avons vu au n° 708, on dit qu'il existe, à l'instant t, un potentiel des vitesses pour une certaine portion du fluide, quand, à cet instant, les valeurs de m, c, iv relatives à cette portion du fluide sont les dérivées partielles par rapport à x,y, zd'une fonction c^ de x,y, z :

ùx

Le champ des vecteurs vitesses W, réduit à la portion de fluide considérée, dérive alors de la fonction 'z>. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que le tourbillon i\ de projections (^, Yj, Î^) soit nul à linstant t en chaque point de celte portion du fluide.

Cette propriété des vitesses peut exister pour une certaine valeur numérique de /, c'est-à-dire à un instant déterminé. Mais peut-elle avoir lieu quel que soit /, c'est-à-dire pendant toute la durée du mouvement? En d'autres termes, un mouvement peut-il être constamment irrolationnel pour tous les éléments d'une certaine partie du fluide? Le théorème suivant, dû à Lagrange, donne un cas très général dans lequel il en est ainsi :

Théorème de L.vgrakge. — Supposons que, dans un fluide parfait en mouvement, la jovce rapportée à V unité de m.asse dérive d' une fonction \](^x^y^ z, t), et que la densité soit Jonction de la seule pression; alors, si, à un instant déterminé, les vitesses d' une portion du fluide dérivent d' un potentiel, il en est de même à tout autre instant pour cette portion du fluide.

Pour démontrer ce théorème, il faut montrer que, si le tour-