CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
billon est nul dans une partie de la masse fluide à l'instant initial / i=r o, il l'est dans cette même partie à un instant quelconque t, et, réciproquement, si le tourbillon est nul dans une partie du fluide à l'instant t, il l'est, dans cette même partie, à l'instant
initial.
A l'instant initial, / = o, u, t', w prennent des déterminalions ?/„, <'o: <ï^o qwi sont fonctions des coordonnées initiales «, b, c des éléments fluides dans la région Aç,\ les projections ç, ri, Ç du vecteur tourbillon Q. (n° 710) prennent donc, pour t = o, les valeurs initiales données par les formules
da\, dv,, àuo àwo „ ^ ^ .
(i3) 2i:o=-— -— , 2r,o= — -^> ^-'- da ôb
A l'instant t, l'élément fluide parti du point «, b, c occupe une position X, JK, - et possède une rotation moyenne (ou tourbillon ) de projections
dw dv du ihv ^ r '^ ^
(i4) 2ç = ^-^^-. ^^'-^-J^' ^-- dx dy
Il faut montrer que,, si, dans une partie du fluide, io, '^io, Co sont nuls, il en est de même de ç, "o, X, et inversement. C'est ce que Cauchy a étabU d'une manière simple en montrant que ç, r,, ^sont des fonctions linéaires et bomogènes de io, '^loi ^o et inversement. Démonstration de Cauchy. — D'après les hypotbèses faites dans l'énoncé du théorème, on peut, comme nous l'avons vu dans le numéro précédent, écrire les équations du mouvement
du d(l
dv dO
dw ()Q
dt ~ dx '
irt~ dy'
dt dz
en posant
Nous désignerons, pour abréger, par a', v , w les dérivées -^^- , ^ .
L^^, et nous écrirons les équations du mouvement dt
, àQ , àQ , àQ
Dans ces équations, Q est regardé comme fonction de .r, y, :■, t,
33o ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
mais oc^y^ :• sont des fonctions de «, h, c, t. On a donc
d(l dqdx ^ dq ôy àQ dz da dx da dy Ox ôz ùa
ou.
, d'après (
ûa
.dx da
da
tv'
,ôz da
on
trouve de
même
db ~
,dx db
db
,dz db
Éliminant Q entre ces deux relations à l'aide de la relation
d /dq\ à /dQ'
da \ db / db \ da on a l'équation
du' dx du' dx di>' dy dv' dy dw' dz dw' dz da db db da da db db da da db db da
Si maintenant on remarque que, d'après les théorèmes élémentaires sur l'interversion des dérivations partielles, on a
d /àu\ du' dx d ( àx\ du
dl \àa ) da dt ' dt \da / da
on reconnaît sans peine que le premier membre de (16) est la dérivée partielle, par rapport à t, de la quantité
du dx du dx dv dy dv dy diX' dz dw dz da db db da ' da db db da da db db da
Cette quantité, ayant sa dérivée par rapport à / nulle, est donc indépendante du temps t : elle est égale, pendant toute la durée du mouvement, à sa valeur initiale; or, à l'époque ^ = o, on a
u = Uo, V — vq, (p = H'o, X = a, y = ^, z = c
et, par suite, toujours pour / = o,
dx dx dy dy
^f"'' db''"^' d^^^' db^^' '"'
la valeur initiale de la quantité considérée est donc
àvp dUi, da db
