CHAPITRE \XXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS. 33l

On en conclut l'équation

, __ au dx du dx dv dy d\> dy àw dz dw dz dvo du^) ' Oa db ôb àa da db db da da àb db da ~ da db ^

et deux équations analogues obtenues en permutant «, b^ c et i/oi i'o' ^^0- Nous écrirons ces trois équations en introduisant la notation des tourbillons (i3) : nous aurons ainsi

iuS)

du dx dv dy dv dy dw dz dw dz

db da ~^ da db db da da db db da ~ "

du dx dv dy dv dy dw dz dw dz ^

de 'db ^ Jb de ~ de ~db '^ ~db Je ~ 'de Jb "^ ^^"'

du dx dv dy dv dy dw dz dw dz

da de de da da de de àa da de " '""

Introduisons maintenant dans les premiers membres de ces équations les dérivées partielles de u, c, w par rapport à x^ y^ z. Pour cela, il suffit de remarquer que, à l'instant f, la vitesse de l'élément dm qui est au point x, y, z est bien déterminée : les projections II, c, w de cette vitesse sont donc des fonctions de x,y, ^; d'autre pari, on peut regarder ces projections comme fonctions de rt, b, c par l'intermédiaire de x, y, z, qui sont fonctions de a, b, c : on a donc

du da

du dx du dy du dz dx da dy da dz da

du 'db ~~

du dx du dy du dz ~dxdb'^'d^àb~^dz db'

en portant dans la première des formules (i8), on voit que le premier terme de cette formule devient

du dx du dx du / dx dy dx dy\ du fax dz dx dz

da db db da ~ dy \db da ~ àa db ) '^ dz \db àa ~ àa db

On calcule de même les deux autres termes dans la première formule (i8), en permutant x,y, z et u, ç, w,

àv^ ày àv^ dy dv / dy dz ày àz\ àv I dy dx ày àx

àa àb àb àa ~ IzXàb 'da ~~ àa àb / '^ dx \àb àa ~ àa àb àiv àz dw àz^ dw / dz àx àz dx\ dw / dz ày àz dy da àb àb àa ~ àx \àb àa ^ àa àb ) "^ dy \'àb àa ~ àa àb

Ajoutant ces trois quantités pour les égaler à 2^05 d'après la pre-

niière formule (i8), on a

/ ùw dv^\ f dz dy

du

dz

/dv

\ t)6 à a dx dz

dz dj^ da db

dr dz''

dw ôx àu\ ( dy dx dy dx\

db da da db /