CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

Dans le cas où les forces X, Y, Z dérivent d'une fonction

U(a:,jy, z^ t) pouvant contenir /, on a

Comme application, il serait facile d'écrire les équations du mouvement d'un fluide en coordonnées polaires dans l'espace : il suffirait de reprendre les calculs faits dans le premier Volume pour obtenir, à l'aide des équations de Lagrange, le mouvement d'un point en coordonnées polaires dans l'espace.

Les équations (29) du second ordre en ^), q-y-, q-i contribuent à définir ces paramètres ainsi que /? et p en fonction de t et de q\, ql q'^.

Équation de continuité analogue à celle de Lagrange. — Il faut joindre à ces équations, l'équation de continuité écrite dans le nouveau système de coordonnées. C'est ce qu'il est facile de faire en s'appuyant sur les propriétés des déterminants fonctionnels. Employons la notation classique

Dix,y,z)'

pour désigner le déterminant fonctionnel de f, cp, '\/ regardés comme fonctions de X, y, z.

Dans le calcul précédent, x, y, z peuvent être regardés comme des fonctions de qi, q^^ q^, et de t; qi, q^, q^ comme des fonctions de q\, q\i ql 6t de t\ enfin q\, q\, q\ comme des fonctions de a, b, c. On a alors, pour le déterminant appelé D,

ni) D^D(^.r>-^)^ B(x,y^z) Diq^^q., q,) D(q1,qhql) D{^a,b,c) D{q„q,,q,)D{q\,ql,ql) D{a,b,C)

Gomme le dernier des trois déterminants ci-dessus est constant, l'équation de continuité qui consiste à écrire que pD est constant pour une même particule fluide, revient à écrire que

/o X D(y, ^r, ^) B(qi, q-i, qz)

^ ' ^^iqi,q-2,qz)^iq%qhqî)

est constant pour une même particule fluide.

Par exemple, en coordonnées polaires dans l'espace r, 6, to

(33) a: = /• sin6 cosco, j- = /• sin6 sin w, ^ = ;-cos0,

on a

D(ar, j, z) ,

=- ^ = r- sin f).

On aura donc pour l'équation de continuité

(34) p.-^sin9 P^^\^-"\=:const.:

D(/-o, %, wo)

à l'instant initial p, /•, 0, w deviennent po, f'o, 6o, ojq; la constante est donc po ri sinOo.