CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

73o. Exercice. — Mouvement d'un liquide pesant s' écoulant par le fond d'un vase de révolution d'axe vertical; hypothèse du mouvement par tranches parallèles. — Soit un vase de révolution autour de la verticale descendante O.:; : ce vase est plein d'un liquide pesant immobile jusqu'au niveau Qx : nous prendrons ce niveau pour plan des xy, l'axe Oz étant dirigé vers le bas. Supposons qu'à l'instant ^ := o on débouche une large ouverture circulaire horizontale Aj Bi dans le fond du vase et imaginons que le vase soit alimenté de façon que le niveau reste horizontal et constant. On demande de trouver le mouvement du liquide.

Nous donnerons une solution approchée de ce problème, fondée sur l'hypothèse du mouvement par tranches parallèles (•).

Le mouvement étant évidemment symétrique autour de 0.3, la vitesse W d'un élément peut être décomposée en deux, composantes, l'une cp parallèle à Oz, l'autre s dirigée suivant le rayon perpendiculaire à Ç}z. Nous admettrons que la forme du vase est telle que s soit négligeable par rapporta w, cette hypothèse exige que les parois du vase soient peu inclinées sur la verticale, puisque, sur la paroi, la vitesse W doit être tangente à la jiaroi.

Nous supposerons donc 5 nul et nous admettrons de plus que, en tous les points d'une même section S perpendiculaire à l'axe, toutes les vitesses w sont les mêmes. D'après cela, w est une fonction de z et t. Pour 5 = 0, w prend une valeur w^^ qui est la vitesse des points de la surface libre AqBo et, pour une certaine valeur 2 = /z égale à la profondeur du vase, w prend une valeur w^ qui est la vitesse des points de la tranche Ai El constituant l'ouverture, c'est-à-dire la vitesse d'écoulement. Appelons So, S et Si les aires des sections AqBo, AB et AjBi : Sq et Sj sont constants, S est fonction de z ( fig. 328).

Actuellement l'équation de continuité est remplacée par cette condition que le volume liquide qui, dans le temps dl., traverse une section droite

(') Voir : Hydromeclianics de Besanl, et Elementary TreaLise on Hydrodynamics de Basset.

quelconque AB est le même pour toutes les sections : on a donc

(38) SqU'o = S ti^' = Siif 1.

D'après nos hypothèses, u, v sont nuls, w est une fonction de ^ et i : la seule force appliquée est la pesanteur, X = Y = o, Z = ^. Sur les trois

équations d'Euier (35), les deux premières montrent que ;r- et -^ sont

nuls; p est donc fonction de - et f seulement; la troisième donne

„ , i âp dix' dw

D'après les conditions (38) on a

So

où s est fonction de z seul et (Vo de / seul : donc

àiv So dwo ~dt ~ 's dt

L'équation (Sg) est alors

i dp So dwç^ dw

^ àz '^ S dt àz

Donnons à i une valeur constante, laultiplions par dz et intégrons; nous avons

où F{t) désigne la constante d'intégration qui peut dépendre de /.

Pour z = o, la pression p est la pression atmosphérique n et la vitesse w la vitesse Wq à la surface libre : donc

De même pour z =: h, la pression p à l'orifice d'écoulement est sensiblement égale à la pression atmosphérique II, et w à Wi :

• „ , r. ^<*^n C dz I , r^ , X

-n=.,..-So-^j^ ---.1-F(0.

Retranchons ces deux relations membre à membre, en désignant par a