CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

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l'intégrale / -^ qui dépend de la forme du vase : nous aurons c'e?l-à-dire d'après (38)

Gomme Sq est, par la nature même de la question, supérieur à Si, le coefficient de ivl est négatif, et l'on peut écrire

en posant

aa Sf, \ Sf / aSoA'

On en déduit

2 À L À — Wq a -h Wq J

D'où, en intégrant et remarquant que, pour ^ = o, «'o = o, car le liquide part du repos

•2 A A/ = Logr ,

Qkkt Q—\kt

La vitesse d'une tranche quelconque w et la vitesse d'écoulement «'i

sont ensuite données par les relations (38).

Quand t augmente indéfiniment, w^ tend vers la limite X; w et wi

S , S tendent vers les limites X — ? À ^- Le mouvement tend donc vers un état

permanent. La limite de la vitesse d'écoulement est, d'après les valeurs de X et k,

Dans le cas particulier où Si est petit par rapport à Sq, cette limite est voisine de \/').gh.

Nous retrouverons ce résultat directement dans l'étude du mouvement permanent (n" 744).

736. Autre forme des équations du mouvement. — On peut écrire autrement les équations du mouvement (35) en faisant apparaître les composantes ^, r,, (i^ du vecteur tourbillon au point (^x^y^ z) à l'instant t.

Pour cela remarquons que, W- désignant le carré de la vitesse d'un élément

on a identiquement

à dx

/i \ du dv dw \i J dx dx dx

et, par suite,

du du

ox oy

du

dx \-î / \dy dx]

/du

{dl-

dw\

d'où, d'après la notation employée pour les tourbillons (n° 706), du du du d l\ \

Transformant de même les quantités analogues qui figurent dans les équations du mouvement (35), on voit que ces équations peuvent s'écrire

\ dp d \ \ du

p dx dx \i / " ' dt

(40) {;È = Y-;âf^V^)-^-(?"-^^')-

M — iCzv —r,u) —

I dp

P ày~

p dz

dz \2

du

Tt'

dv dl' dw 'dt'

737. Cas où p étant fonction de p les forces dérivent d'un potentiel. — Nous avons déjà étudié ce cas avec les variables de Lagrange (n° 730) et nous avons, pour ce cas, démontré le théorème de Lagrange d'après Cauchj. Avec les variables d'Euler, on peut retrouver les mêmes résultats comme il suit :

Supposons que p = f(p) et posons, comme plus haut,

supposons, en outre, que l'on ait

Y àV ^ àU dV

dx dy dz

U étant fonction de x, y, z, i. Les équations (4o) pourront