CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

s'écrire

du ^ . . ^H

(40 { ^ -^2(Cu-;.v)=-— ,

où H désigne la quantité

(42) H = iW2-+-P — U = }W2— Q,

en désignant, comme plus haut (n° 730), par Q la différence U — P .

Equations de Helmholtz. — En éliminant la fonction H entre ces équations, nous obtiendrons trois relations, équivalentes à celles que, d'après Cauchj, nous avons déduites de l'élimination de Q entre les équations (i5) du n" 730.

Ecrivons, par exemple,

A. /Ëi\ ii /^\ dy\dz)~ dz\dy) -''•

Nous aurons

—- ; ^— ; \- ■!-- (ZV — -nu) — 2 {X.U — Iw) = 0.

dtdy dtôz dy^ ^ ' ûz^ ' ' '

D'après la valeur de ^, l'ensemble des deux premiers termes est

dt

à' égal à 2 ~; on a donc, en développant,

d^ à'; d\ ^ ( dv dw\ du ^du / dr. dr\

ôt-^'-ô].-^'''Jz^'\-dy-^^)-''^Ty-^-T.-''[ôy-^ôz)-''-

Mais on a identiquement

d'i àr^ à-C,

ax ay ôz

et, d'après l'équation de continuité,

I dçj du ài' div

p dt ' dx dy Oz

Remplaçons alors, dans l'équation ci-dessus, -r-^ + — par -^

'^ ' ' » ^ dy Oz ^, dx

35o ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

di> ôiv du \ (h ,, 1

et h -^ par ; •--};> elle devient

jï ôl d; âl ^ '^'p î '^" ^" , r '^'^ .

les quatre premiers termes forment la dérivée de ç par rapport au temps, prise en suivant l'élément fluide dans son mouvement, c'est-

a-dire -r : on a donc at

d\ dt

dp

dt

' ùx

du

^d u ^dz

dt\

p àx

du

du

'ai'

ou encore

On aurait, par un calcul analogue, les deux équations

dt\p)

r dv '/; ùv "Ç àv p dx p dy p dz

dt[l) =

^ di\' r, àiv ^ dw p dx ' p ày p dz

Ces équations ont été employées par Hclmlioltz pour démontrer d'importants théorèmes relatifs aux tourbillons, sur lesquels nous reviendrons plus lard.

Nous allons montrer comment on en déduit facilement le théorème de Lagrange.

Démonstration du théorème de Lagrange déduite des équations de Helmholtz. — Si l'on suit une particule dans son mouvement, les coordonnées x^y, z de cette particule sont des fonctions du temps, ainsi que u^ c, (v, ^, Tj, X^ et p. On peut alors regarder les équations (43) et (4^') comme un système de trois

équations difl'ércnlielles linéaires et homogènes définissant -■,-■,- ^ » P P ?

en fonction du temps, les coefficients de ces équations -—» —>

' ^ dx dy

-— j ••• etc., étant des fonctions du temps. J^'intéi>ralion de ces Oz ^ 1 o

équations fournira pour -, -, - des fonctions de t dépendant

d'une façon linéaire et homogène de trois constantes arbitraires