CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

i r t qui seront, par exemple, les valeurs — » — j — des trois fonctions

' ' ^ ^ po po ?0

à l'instant initial. On aura ainsi des expressions de la forme

V ? po Po Po

I r' r'o po po

\ P po ?o po

Dès lors, si à l'instant initial la rotation de la particule fluide considérée est nulle, ^q, y,oî So sont nids et, par suite, ^, r,, J^ le sont à un instant quelconque.

Celte démonstration revient au fond à celle de Cauclij : si dans les relations (21) établies au n° 730, d'après Cauchy, on remplace D par ^> on obtient précisément les relations (44) dans

lesquelles les fonctions y") (/), /2(^), ... sont connues et égales dx dx da db

à -:^j -TT j • • • • Il résulte de là ciiie les relations de Caucliv (21) du

n" 730, dans lesquelles on considère -^, -^, ^ comme des con-

Po Po Po

stantes arbitraires, constituent précisément les intégrales générales

des équations de Helniholtz (43)et(43') regardées comme déli-

£ y- r nissant-» -> - en fonction du temps. C'est ce qu'on vérifiera faci-

lement. ( Voii^ aux Exercices.)

738. Cas où p étant fonction de p les forces et les vitesses dérivent d'un potentiel. — L'intégration des équations se simplifie quand les trois conditions suivantes sont remplies :

1° La densité est fonction de la pression;

1° Les forces X, Y, Z dérivent d'une fonction U(x,/, ;, t) pouvant contenir t;

3" Les vitesses u, t', w dérivent d'un potentiel 'o[x,y, z,t); en d'autres termes les tourbillons sont tous nuls.

Posons alors, comme plus haut.

Q = U-ff;

les équations (35) du mouvement prennent la forme

du du du du dO

U- h i> [- iV- h -^ =0.

dx ày dz dt dx

T, , ^ do do dfo , -, 1 •. 1

h,n remplaçant m, p, w par -^ } -^, -^, on écrit la première de

ces équations

d'^ d-^ d'j^ à^O do d^o d^'^ dQ

dx dx- dy dx dy dz dx dz Ox dt dx

ou encore

Tx\i[(My^ (0)'-^ (5?)'] -" 5? - Q h "'

ce qu'on peut écrire

dx XQ. dt

W- étant le carré u--\- v--\-w- de la vitesse de l'élément placé en x.^ y^ z. Les deux autres équations du mouvement montrent de

même que les dérivées partielles de la quantité - W- + -~- — Q, par rapport à y et x;, sont nulles.

Cette quantité est donc indépendante des variables x^ y, z et ne dépend plus que de la quatrième variable t. On a ainsi l'équation unique

(45) lw=+|-Q = «0 OU, d'après la définition de H,

qui remplace les trois équations du mouvement. On peut faire rentrer la fonction du temps '^{t) dans o. En effet, jusqu'à présent cette fonction o a été définie uniquement par cette propriété

que

do do do

dx dy dz

or toute aulre fonction cp, différant de o par une fonction de t