CHAPITRE WXIV. — DYNAMIQUE DES F L i; I D E S PARFAITS

seulement, par exemple

«1 = <P — I <l{t)dt,

possède évidemment la même propriété et peut également servir de potentiel de vitesses, puisque les dérivées partielles de o, par rapport à ^, JK, s, sont identiques à celles de o. Mais alors l'équation (4'5) s'écrit

En résumé, les équations du mouvement peuvent être ramenées aux suivantes :

' dt

La deuxième de ces équations est l'équation de continuité (36); la troisième, l'équation caractéristique.

On a ainsi trois équations pour déterminer c2,yD et p en fonction de X, y, ^, ^ : la fonction cp n'est déterminée qu'à une constante additive près, car 'o ne paraît dans toutes les équations que par ses dérivées partielles. Il faudra distinguer deux cas suivant que es est uniforme ou non dans le fluide (n° 710).

Liquide incompressible à température constante. — Dans le cas où p est constant^ l'équation de continuité, dans l'hypothèse d'un potentiel de vitesses '^, se réduit à l'équation de Laplace

ACD = o

que nous avons étudiée en détail à propos de l'attraction. Comme

la fonction Q est alors égale à U — -> il faudra intégrer, sous les

conditions initiales et les conditions aux limites, les deux équations

'ç\2 1 doY /d's>y-'

dx y ôx ) Oy y dy / ~'

ùz \ dz

dx^ ^ ~dy^' '^ ~d^ ^ ^ ' définissant p et cp en fonction de x, y, ^, t.

Dans ces équations, la somme [-^J ~^ \dt^) "^ ( 5^/ ^^

au carré W- de la vitesse.

Remarque. — On peut évidemment rattacher les résultats de ce numéro aux équations (4i)- Actuellement, le mouvement étant irrotaUonnel, ;, r., l sont nuls; de pJus, -^ = ^j^^,

Les équations (40 s'écrivent donc

âtj

tt)

elles montrent que la fonction H + ^ est indépendante de x,y.^ z, comme nous l'avons vu par un calcul direct.

739. Exercice. — Une masse liquide dénuée de poids affecte la forme d'une couche sphérique de rayon extérieur a entourant un noyau sphérique solide de rayon h : la surface extérieure de cette couche est soumise à une pression constante W. Dans ces conditions, le système est en équilibre. A un instant donné t — o, le noyau solide intérieur est anéanti: trouver le mouvement du liquide.

Gel exercice est emprunté à l'Ouvrage intitulé : « An elementary Treatise on Hydrodynamics and Sound », by A.-B. Basset, M. A.. F. R. S., Trinily Collage, Cambridge, 1890, p. 25.

Il est évident, par raison de symétrie, que la vitesse de chaque élément est dirigée vers le centre et que, à chaque instant, les points qui sont à la même distance du centre ont la même vitesse : les surfaces libres intérieures et extérieures restent donc sphériques.

Le liquide partant du repos, le mouvement est irrotalionnel, d'après le théorème de Lagrange. Les vitesses dérivent donc d'un potentiel o. Si l'on prend comme origine le centre commun 0 des deux sphères, point qui reste fixe, et si l'on appelle /■ la distance d'un élément fluide au centre, la fonction o est, par raison de symétrie, fonction des seules variables r et ^ : o{r, t). '

Écrivons qu'elle vérifie l'équation de continuité

d^o â-o ()2cp

d'-o àr-^

•>. do

à dr

do\