CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

On a, puisque cp dépend de û^,j, z par l'intermédiaire de

d^ c)cp X à^ o d'^ cp 37^ '^? / ' •

dx dr r dx- dr^ /•- dr \ r ,

on a de même -r— t> -t~^ ^ '^ où pour l'équalion de continuité dy- dz-

ce qu on peut écrire On a donc

F(t) désignant une fonction de t et

Fi(^) étant une deuxième fonction de t. On peut alors écrire les composantes M, V, w de la vitesse W qui sont les dérivées partielles de cp par rapport à x, y, z. La vitesse elle-même estimée positivement suivant le prolongement du rayon ;• a pour expression

dr la dérivée étant prise suivant le rayon, c'est-à-dire

Gomme le système part du repos, W est nul avec t, la fonction F(/) s'annule donc avec t.

La première des équations générales (48) donne alors, puisque U = o,

(5„) £ = Z:ili F;(o-iw..

Appelons, à un instant quelconque /, Rg le rayon de la sphère extérieure, Wfl la \itesse des éléments situés sur cette sphère : Rq est une fonction de t et l'on a évidemment

(5.) w.=^» = i;<ii.

d'après la formule (49); appelons de même Rj le rayon de la sphère inté-

Heure et Wi la vitesse des éléments situés sur cette sphère : nous aurons de même

^^^^ * cil Rf

Comme à chaque instant la pression extérieure est 11 et la pression intérieure o, on a, en faisant successivement /• = Rq et r = Ri dans l'équation (5o).

p - Ro '^ ^ 1 ''

Kl 1

D'où, en retranchant et remplaçant Wo et Wi par leurs valeurs ( ji) et (52)

Multiplions les deux membres de cette équation par •i.Y{^t)dl en remarquant que, d'après (5i) et (52),2F(f)û?i est égal à -iR^f^Ro et à 2 Rf <r/Ri. Nous pourrons écrire

Le deuxième membre est alors la différentielle du j)roduit d'où en intégrant C désignant une constante que l'on détermine en remarquant que, pour

^ = o, Ri = 6 et F ( < ) = o. Donc C = — — 6^ et l'on a l'équation

On trouverait de même

,54) |"'RS-»') = f'<')(tf.~i{;)-

Ces deux équations exigent que

R-i—Rf^a-J— 63,

condition évidente, car le volume liquide compris entre les deux sphères limites est constant. Ces équations permettraient de calculer R^ et Ri en fonction de /; par exemple, pour calculer Iv), il suffirait de remplacer dans