CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

Restent enfin les forces données; par hypothèse, la force X, Y, Z rapportée à l'unité de masse dérive de la fonction de forces U; la force élémentaire appliquée à un élément dm dérive donc de la fonction U r//« ; si l'élément (r//?z passe d'une position à une autre, le travail de la force élémentaire est égal à la variation correspondante de \] dm. Appliquons cette proposition aux diverses tranches, en appelant Uq, U,. . . ., U«, U les valeurs de U dans les diverses tranches o, i, 2. . . . , /i et dans la tranche o-t' : le travail des forces données appliquées à la tranche o est (Ui — \]^^)dm, car cette tranche passe de la position o à la position i; de même, les travaux des forces données appliquées aux tranches i , 2, ..., n

sont (Uo — U,) dm. (U:, — \J.)din i U — \Ju)dm : la somme

de ces travaux est, après réduction,

(U — Uo)f//«.

Le théorème des forces vives donne donc

- dm ( W- — W 2 ) = Ip^ dm ~--p dm -^ ^ U — Uo ) dm ; ■2 " ' 0 p

en divisant par dm et transposant, on ohtient l'équation de Bernoulli (60) pour un liquide.

744. Théorème de Torricelli. — Appliquons, en particulier, ces résultats au mouvement permanent d'un liquide pesant, maintenu à un niveau constant dans un vase par un réservoir d'alimentation et s'écoulant par un orifice percé dans la paroi. L'ohservation montre qu'il s'établit un régime permanent. Comme les éléments fluides situés, à un certain instant, sur la surface libre finissent par s'écouler par l'orifice, les filets fluides partant de la surface vont aboutir à l'orifice {^/îff- 33o) .

Prenons pour plan des ccy la surface libre, pour axe des z la verticale descendante. On a alors pour la fonction des forces U ^=gz. L'équation de Bernoulli (60) s'écrit

tout le long d'un filet fluide. Pour déterminer la constante S le long d'un filet, il suffit de connaître W, z et p en un point du

368 ÉOVILIBUi: ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

filel : or, sur la surface libre, on a

Z = 0, p — pa,

pa désignant la pression atmosphérique; quant à la vitesse Wo des points de la surface libre, elle est négligeable si l'aire de la surface libre est très grande par rapport aux dimensions de l'orifice; il est évident, en effet, que, dans'ces conditions, si l'on supprimait l'alimentation du vase, le niveau y baisserait très lentement : nous

prendrons alors

Wo=o

sur la surface libre. Dans ces conditions, la constante a pour valeur

on a donc, le long d'un filet,

(63) -\^'>-= 8Z-^-{pa-p).

Vitesse cVécoiilenient . — Soient /a la distance de l'orifice à la surface libre, W^ la vitesse d'écoulement par l'orifice : pour connaître celte vitesse, il faut connaître la valeur de la pression p à l'orifice d'écoulement; or l'écoulement se faisant dans l'air, la pression à l'oiifice est sensiblement égale à la pression atmosphérique Pa- L^ formule (63) donne alors, [)Our c- = h, p =/>«,

elle exprime le théorème de Torricelli : La vitesse d'écoulement est la vitesse que prendrait un point pesant tombant dans le vide de la hauteur h.

hébit. — Connaissant la vitesse d'écoulement et la ^^randeurde l'orifice, on peut calculer le débit, c'est-à-dire la quantité de liquide qui s'écoule pendant l'unité de temps. L'observation montre que le débit ainsi calculé est troj) Ibrt : cela tient à deux causes : i" le jet liquide est composé de filets fluides qui vont en convergeant vers l'orifice et qui continuent à converger même après leur sortie de l'orifice {fig- 33o); il en résulte que la veine se contracte après sa sortie sur une j^etite longueur et que pour calculer le débit il faut prendre la (]uantité de liquide qui passe